Seja a equação diferencial
a_{n}(x) y^{n}+a_{n-1}(x) y^{n-1}+\ldots+a_{1}(x) y+a_{0}(x) y=0
em que as funções a_{0}, a_{1}, a_{n} são continuas no intervalo I. Explique por que as soluções y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n} são um sistema fundamental de soluções da equação 1 no intervalo I se e somente se o Wronskiano W\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right) não se anula em nenhum ponto de I.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de ordem n
a_{n}(x) y^{(n)} + a_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \ldots + a_{1}(x) y' + a_{0}(x) y = 0
com as funções a_{0},a_{1},\ldots,a_{n} contínuas em um intervalo I. (Pressupõe‑se que a_{n}(x)\neq 0 em I, caso contrário a equação não tem ordem n uniforme em todo o intervalo.)
O que se pede: explicar por que as funções y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} são um sistema fundamental de soluções da equação em I se e somente se o Wronskiano
W\bigl(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\bigr)(x)
não se anula em nenhum ponto de I.
Informações relevantes dadas:
  • Temos n soluções y_{1},\dots,y_{n} da equação definidas em I.
  • Coeficientes a_{i}(x) são contínuos em I e a_{n}(x)\neq 0 em I.
  • Precisamos relacionar a noção de sistema fundamental (base do espaço de soluções) com o Wronskiano.

Passo 2

Definições e instrumentos que vamos usar (explicados devagarinho):
  • Sistema fundamental: y_{1},\dots,y_{n} é um sistema fundamental em I se são soluções linearmente independentes e, portanto, qualquer solução da equação pode ser escrita como combinação linear
y(x)=c_{1}y_{1}(x)+\cdots+c_{n}y_{n}(x)
com constantes c_{i}. Ou seja, formam uma base do espaço das soluções.
  • Linearmente independentes: y_{1},\dots,y_{n} são linearmente independentes se a única combinação linear constante que dá a função zero é a combinação trivial:
c_{1}y_{1}(x)+\cdots+c_{n}y_{n}(x)\equiv 0 \quad\Rightarrow\quad c_{1}=\cdots=c_{n}=0.
  • Wronskiano: o Wronskiano das n funções é o determinante
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x) & \cdots & y_{n}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) & \cdots & y_{n}'(x)\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] y_{1}^{(n-1)}(x) & y_{2}^{(n-1)}(x) & \cdots & y_{n}^{(n-1)}(x) \end{vmatrix}.
Intuição simples: se W(x_{0})\neq 0 então as colunas (isto é, vetores cujas componentes são valores das derivadas até ordem n-1 em x_{0}) são linearmente independentes; isso será chave.
  • Teorema de existência e unicidade para IVP (forma que usaremos): para a equação acima, dada uma condição inicial
y(x_{0})=b_{0},\quad y'(x_{0})=b_{1},\\ \ldots,\\ y^{(n-1)}(x_{0})=b_{n-1},
existe uma única solução definida em I. Essa unicidade é fundamental para ligar dependência linear com valores iniciais.]

Passo 3

Preparação técnica útil: escrever a equação na forma normal (dividindo por a_{n}(x), já que supomos a_{n}(x)\neq 0 em I):
y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_{0}(x) y = 0,
onde p_{k}(x)=\dfrac{a_k(x)}{a_n(x)} são contínuas em I. Essa forma é conveniente porque a fórmula de Abel (abaixo) usa esse coeficiente p_{n-1}.
Agora apresento a fórmula de Abel (explicada): para qualquer conjunto de n soluções da equação em forma normal, o Wronskiano satisfaz uma equação diferencial simples:
W'(x) = -p_{n-1}(x)\,W(x).
Isto se obtém diferenciando W(x) e usando a relação da equação para substituir as derivadas de ordem n que aparecem. A solução desta EDO escalar é
W(x)=W(x_{0})\exp\!\Bigl(-\int_{x_{0}}^{x} p_{n-1}(t)\,dt\Bigr).
Consequência prática imediata: o Wronskiano ou é identicamente zero em I ou nunca se anula em I. Em particular, se W(x_{0})\neq 0 para algum x_{0}\in I, então W(x)\neq 0 para todo x\in I; e se W(x) tem uma raiz em x_{0}, então pela fórmula W(x_{0})=0 implica W(x)\equiv 0 em I.
(Dica para entender a derivação: em dimensões pequenas dá para ver direto: por exemplo, para n=2 com soluções y_{1},y_{2}, W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2} e diferenciando e usando a equação mostra que W'=-p_{1}W. A derivação geral segue o mesmo princípio com operações de determinante.)

Passo 4

Prova da implicação "sistema fundamental \Rightarrow Wronskiano não se anula em I":
  • Primeiro, se y_{1},\dots,y_{n} é um sistema fundamental então são linearmente independentes. Vou provar a contrapartida útil: se o Wronskiano fosse identicamente zero em I então as funções seriam linearmente dependentes. Mostro isso:
    Suponha W(x)\equiv 0. Em particular W(x_{0})=0 para algum x_{0}\in I. O determinante formado pelas colunas
    \bigl(y_{1}(x_{0}),y_{1}'(x_{0}),\ldots,y_{1}^{(n-1)}(x_{0})\bigr)^{T},\\ \ldots,\\ \bigl(y_{n}(x_{0}),\ldots,y_{n}^{(n-1)}(x_{0})\bigr)^{T}
    é zero, logo essas colunas são linearmente dependentes: existem constantes c_{1},\dots,c_{n}, não todas nulas, tais que
    c_{1}y_{1}^{(k)}(x_{0})+\cdots+c_{n}y_{n}^{(k)}(x_{0})=0\quad\text{para }k=0,1,\dots,n-1.
    Defina u(x)=\sum_{i=1}^{n} c_{i}y_{i}(x). Então u é solução da equação (soma linear de soluções) e satisfaz
    u(x_{0})=u'(x_{0})=\cdots=u^{(n-1)}(x_{0})=0.
    Pela unicidade do problema de Cauchy (teorema de existência e unicidade), a única solução com todas essas condições iniciais é a solução identicamente zero, portanto u\equiv 0. Assim a combinação com coeficientes c_{i} não todos nulos dá a função zero, o que mostra que as y_{i} são linearmente dependentes. Contradição com a hipótese de sistema fundamental. Portanto não pode ocorrer W\equiv 0.
  • Pelo item anterior concluímos que W não é identicamente zero. Usando a fórmula de Abel do Passo 3, como W não é identicamente zero, ele não pode ter nenhum zero isolado: se W(x_{0})\neq 0 então W(x)\neq 0 em todo I. Logo W(x) não se anula em nenhum ponto de I.
Resumo dessa direção: linearmente independentes \Rightarrow W\not\equiv 0 \Rightarrow pela fórmula de Abel W(x)\neq 0 para todo x\in I.

Passo 5

Prova da implicação “Wronskiano não se anula em I \Rightarrow sistema fundamental”:
  • Se W(x)\neq 0 para todo x\in I, em particular existe um ponto x_{0}\in I tal que W(x_{0})\neq 0. O valor W(x_{0})\neq 0 significa que a matriz
    M := \begin{pmatrix} y_{1}(x_{0}) & y_{2}(x_{0}) & \cdots & y_{n}(x_{0})\\[4pt] y_{1}'(x_{0}) & y_{2}'(x_{0}) & \cdots & y_{n}'(x_{0})\\[4pt] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[4pt] y_{1}^{(n-1)}(x_{0}) & y_{2}^{(n-1)}(x_{0}) & \cdots & y_{n}^{(n-1)}(x_{0}) \end{pmatrix}
    tem determinante não nulo, logo é invertível.
  • Agora suponha que existam constantes c_{1},\dots,c_{n} tais que
    c_{1}y_{1}(x)+\cdots+c_{n}y_{n}(x)\equiv 0\quad\text{para todo }x\in I.
    Avaliando as derivadas até ordem n-1 em x_{0} obtemos o sistema linear homogêneo
    M\begin{pmatrix}c_{1}\\\ \vdots\\\ c_{n}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ \vdots\\\\ 0\end{pmatrix}.
    Como M é invertível, esse sistema tem única solução c_{1}=\cdots=c_{n}=0. Logo a combinação trivial é a única que zera a função, o que significa que y_{1},\dots,y_{n} são linearmente independentes.
  • Sendo n soluções linearmente independentes de uma equação linear homogênea de ordem n, elas formam uma base (sistema fundamental) do espaço de todas as soluções. Portanto são um sistema fundamental em I.]

Passo 6

Síntese final e observações práticas (como usar isso na prova):
  • A prova usa duas ideias chave:
    1. Relação entre zeros do Wronskiano e dependência linear via condições iniciais + unicidade do IVP.
    2. Fórmula de Abel, que mostra que o Wronskiano ou é identicamente zero ou nunca se anula no intervalo I.
  • Consequência operacional para a prova: para checar se n soluções formam um sistema fundamental basta calcular o Wronskiano e verificar se ele é não nulo em um ponto (ou não se anula em I). Se W(x_{0})\neq 0 então automaticamente W(x)\neq 0 em I e as soluções são uma base; se W\equiv 0 então são linearmente dependentes.
  • Nota intuitiva: o Wronskiano mede (pela sua forma de determinante) se os vetores formados por valores das derivadas até ordem n-1 são linearmente independentes em um ponto — e a teoria da EDO transforma essa independência pontual numa independência global graças à unicidade do IVP e à fórmula de Abel.

Resposta

As funções y_{1},y_{2},\ldots,y_{n} formam um sistema fundamental em I se, e somente se, o Wronskiano
W\bigl(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}\bigr)(x)
não se anula em nenhum ponto de I.

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