Resolva a equação diferencial dada (encontrando a solução geral) usando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime+4 y=3 sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y = 3sin x
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' + 4y = 0
cuja equação característica é
r^2 + 4 = 0Longrightarrow r = pm 2i
Portanto a solução geral da homogênea é
yh(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x),
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular yp usamos o ansatz típico para um termo forçante 3sin x. Como sin x não é solução da homogênea (frequência 2), assumimos
yp(x) = Acos x + Bsin x,
com A e B constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = -Asin x + Bcos x,
yp'' = -Acos x - Bsin x
Substituindo em y''+4y=3sin x obtemos
(-Acos x - Bsin x) + 4(Acos x + Bsin x) = 3sin x
Agrupando coeficientes:
(-A + 4A)cos x +(-B + 4B)sin x = 3sin x Longrightarrow 3Acos x + 3Bsin x = 3sin x
Logo igualando coeficientes:
3A = 0 Rightarrow A=0, 3B = 3 Rightarrow B=1
Então
yp(x) = 0cdotcos x + 1cdotsin x = sin x

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma de yh e yp:
y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + sin x

Resposta

y(x) = C1cos(2x) + C2sin(2x) + sin x

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