Resolva a equação diferencial dada (encontrando a solução geral) usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma solução particular.
Passo 2
Estudamos a homogênea
cuja equação característica é
Portanto a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a solução particular
usamos o ansatz típico para um termo forçante
. Como
não é solução da homogênea (frequência
), assumimos
com
e
constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo em
obtemos
Agrupando coeficientes:
Logo igualando coeficientes:
Então
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma de
e
: