Considere uma corda elástica de comprimento L cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento, sem velocidade inicial, de uma posição inicial u(x, 0)=f(x). Encontre o deslocamento u(x, t).
f(x)=ll1, & L / 2-1<x<L / 2+1 (L>2), 0, & caso contário á

Passo 1

O problema é o da equação da onda unidimensional
utt=c^2,uxx, 0<x<L,;t>0,
com condições de contorno de Dirichlet
u(0,t)=0, u(L,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= 1,&L/2-1<x<L/2+1,;(L>2), 0,&caso contrário á
Para resolver, vamos usar separação de variáveis e expandir f(x) numa série de senos.

Passo 2

A solução geral que satisfaz as condições de contorno é
u(x,t)=sumn=1^inftyBnsinl(tfracnpi xLr)cosl(tfracnpi c,tLr)
Como ut(x,0)=0, não há termo em sin(tfracnpi c,tL). As constantes Bn vêm da expansão de Fourier senoidal de f(x):
Bn=2Lintegral0^Lf(x),sinl(tfracnpi xLr),dx

Passo 3

Como f(x)=1 apenas em l[tfrac L2-1,tfrac L2+1r] e zero fora,
Bn=2LintegralL/2-1^L/2+11cdotsinl(tfracnpi xLr),dx
Fazendo a integral,
integralsinl(tfracnpi xLr),dx =-Lnpicosl(tfracnpi xLr),
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Bn =2Ll[-Lnpicosl(tfracnpi xLr)r]x=L/2-1^,L/2+1 =2npil[cosl(tfracnpiL(tfrac L2-1)r) -cosl(tfracnpiL(tfrac L2+1)r)r]

Passo 4

Use a identidade
cos(theta-phi)-cos(theta+phi) =2sinthetasinphi
com theta=tfracnpi2 e phi=tfracnpiL. Então
Bn =2npi;2sinl(tfracnpi2r)sinl(tfracnpiLr) =4npi,sinl(tfracnpi2r)sinl(tfracnpiLr)

Passo 5

Substituindo em u(x,t), obtemos
u(x,t) =sumn=1^infty 4npi,sinl(tfracnpi2r)sinl(tfracnpiLr) sinl(tfracnpi xLr) cosl(tfracnpi c,tLr)

Resposta

boxed u(x,t) =sumn=1^infty 4npi,sin!l(tfracnpi2r),sin!l(tfracnpiLr), sin!l(tfracnpi xLr), cos!l(tfracnpi c,tLr)

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