Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • A equação diferencial fornecida é -y\,dx + (x + \sqrt{x y})\,dy = 0.
  • Podemos reescrever em forma de derivada como \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x + \sqrt{x y}}.
  • O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial por meio de uma substituição apropriada (ou seja, encontrar a família de soluções implícita/ explícita).
  • Informações relevantes: aparece o termo \sqrt{x y}, que mistura x e y dentro de uma raiz quadrada — isso sugere tentar uma substituição que elimine essa raiz (por exemplo, relacionando y com x de modo que \sqrt{x y} vire uma expressão simples em termos da nova variável).

Passo 2

Escolha e justificativa da substituição.
  • Observação: \sqrt{x y} = \sqrt{x}\sqrt{y}. Se fizermos uma substituição que torne \sqrt{y} proporcional a \sqrt{x}, a raiz fica proporcional a x e se simplifica.
  • Uma escolha conveniente é escrever y como \,y = u^2 x, onde u é uma nova função de x. Essa substituição faz \sqrt{x y} = \sqrt{x\cdot (u^2 x)} = \sqrt{u^2 x^2} = u x,assumindo o ramo de raiz compatível (para soluções reais normalmente consideramos u\ge 0 ou tratamos o sinal via valores absolutos depois).
  • Agora precisamos relacionar dy com dx e du. Derivando y = u^2 x em relação a x (regra do produto): dy = \frac{d}{dx}(u^2 x) = u^2\,dx + x\cdot 2u\,du = u^2\,dx + 2u x\,du.

Passo 3

Substituir na equação original e simplificar passo a passo.
  • A equação original é -y\,dx + (x + \sqrt{x y})\,dy = 0.
  • Substituo y = u^2 x, \sqrt{x y} = u x e dy = u^2\,dx + 2u x\,du: -u^2 x\,dx + (x + u x)\bigl(u^2\,dx + 2u x\,du\bigr) = 0.
  • Factorizo x em x+ux = x(1+u) e distribuo: -u^2 x\,dx + x(1+u)\bigl(u^2\,dx + 2u x\,du\bigr) = 0.
-u^2 x\,dx + x(1+u)u^2\,dx + x(1+u)2u x\,du = 0.
  • Agrupo os termos com dx: x\bigl(-u^2 + u^2(1+u)\bigr)dx + 2u x^2(1+u)\,du = 0.
  • Calculo a combinação dentro do colchete: -u^2 + u^2(1+u) = -u^2 + u^2 + u^3 = u^3.Então a equação vira x u^3\,dx + 2u x^2(1+u)\,du = 0.

Passo 4

Isolar e separar variáveis para integrar.
  • Posso dividir toda a equação por x (assumindo x\neq 0): u^3\,dx + 2u x(1+u)\,du = 0.
  • Quero separar x e u. Reescrevo isolando dx/x: u^3\,dx = -2u x(1+u)\,du \quad\Longrightarrow\quad \frac{dx}{x} = -2\frac{u(1+u)}{u^3}\,du.
  • Simplifico o lado direito: \frac{u(1+u)}{u^3} = \frac{1+u}{u^2} = u^{-2} + u^{-1}.Logo \frac{dx}{x} = -2\bigl(u^{-2} + u^{-1}\bigr)\,du.
  • Agora a equação está separada e pronta para integrar: termos em x no lado esquerdo, termos em u no direito.

Passo 5

Integrar ambos os lados e calcular primitivas detalhadamente.
  • Integro: \int \frac{dx}{x} = \int -2\bigl(u^{-2} + u^{-1}\bigr)\,du.
  • A primitiva do lado esquerdo é conhecida: \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_1.
  • Para o lado direito, calculo as primitivas termo a termo: \int u^{-2}\,du = -u^{-1},\qquad \int u^{-1}\,du = \ln|u|.Multiplicando por -2: \int -2\bigl(u^{-2} + u^{-1}\bigr)\,du = -2\bigl(-u^{-1} + \ln|u|\bigr) = 2u^{-1} - 2\ln|u| + C_2.
  • Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa constante única C): \ln|x| = 2u^{-1} - 2\ln|u| + C.

Passo 6

Voltar à variável original y e simplificar a solução implícita.
  • Lembre que definimos u pela relação y = u^2 x. Então u^2 = \dfrac{y}{x} e x u^2 = y.
  • Note que x u^2 = y implica \ln|x| + 2\ln|u| = \ln|y| (porque \ln|x| + \ln|u^2| = \ln|x u^2|).
  • A expressão obtida em Passo 5 era \ln|x| = 2u^{-1} - 2\ln|u| + C. Somando 2\ln|u| aos dois lados: \ln|x| + 2\ln|u| = 2u^{-1} + C.
  • O lado esquerdo é \ln|y|. Portanto \ln|y| = 2\frac{1}{u} + C.
  • Substituo 1/u por \sqrt{\dfrac{x}{y}} (pois u = \sqrt{\dfrac{y}{x}} e assim u^{-1} = \sqrt{\dfrac{x}{y}}): \ln|y| = 2\sqrt{\frac{x}{y}} + C.
  • Reescrevendo de forma habitual como solução implícita: \ln|y| - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = C.

Passo 7

Comentários finais sobre domínio e soluções singulares.
  • A derivação usou \sqrt{x y}=u x e u=\sqrt{y/x}. Para trabalhar com raízes reais de forma direta, é comum assumir x>0 e y>0; com cuidados de valor absoluto pode-se estender a outros ramos, mas a forma compacta obtida é \ln|y| - 2\sqrt{\frac{x}{y}} = C.
  • Há também a solução singular y\equiv 0. Verificação: se y=0 então dy=0 e a equação original -y\,dx + (x + \sqrt{x y})\,dy = 0 fica 0 + x\cdot 0 =0, logo y\equiv 0 satisfaz a equação (note que a forma com \ln|y| não representa y=0, por isso é solução adicional).

Resposta

\ln|y| - 2\sqrt{\dfrac{x}{y}} = C\n \,y\equiv 0

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