Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
-y d x+(x+\sqrt{x y}) d y=0
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- A equação diferencial fornecida é
. - Podemos reescrever em forma de derivada como
. - O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial por meio de uma substituição apropriada (ou seja, encontrar a família de soluções implícita/ explícita).
- Informações relevantes: aparece o termo
, que mistura e dentro de uma raiz quadrada — isso sugere tentar uma substituição que elimine essa raiz (por exemplo, relacionando com de modo que vire uma expressão simples em termos da nova variável).
Passo 2
Escolha e justificativa da substituição.
- Observação:
. Se fizermos uma substituição que torne proporcional a , a raiz fica proporcional a e se simplifica. - Uma escolha conveniente é escrever
como , onde é uma nova função de . Essa substituição faz assumindo o ramo de raiz compatível (para soluções reais normalmente consideramos ou tratamos o sinal via valores absolutos depois). - Agora precisamos relacionar
com e . Derivando em relação a (regra do produto):
Passo 3
Substituir na equação original e simplificar passo a passo.
- A equação original é
. - Substituo
, e : - Factorizo
em e distribuo:
- Agrupo os termos com
: - Calculo a combinação dentro do colchete:
Então a equação vira
Passo 4
Isolar e separar variáveis para integrar.
- Posso dividir toda a equação por
(assumindo ): - Quero separar
e . Reescrevo isolando : - Simplifico o lado direito:
Logo - Agora a equação está separada e pronta para integrar: termos em
no lado esquerdo, termos em no direito.
Passo 5
Integrar ambos os lados e calcular primitivas detalhadamente.
- Integro:
- A primitiva do lado esquerdo é conhecida:
- Para o lado direito, calculo as primitivas termo a termo:
Multiplicando por : - Igualando as duas primitivas (absorvendo constantes numa constante única
):
Passo 6
Voltar à variável original
e simplificar a solução implícita.
- Lembre que definimos
pela relação . Então e . - Note que
implica (porque ). - A expressão obtida em Passo 5 era
. Somando aos dois lados: - O lado esquerdo é
. Portanto - Substituo
por (pois e assim ): - Reescrevendo de forma habitual como solução implícita:
Passo 7
Comentários finais sobre domínio e soluções singulares.
- A derivação usou
e . Para trabalhar com raízes reais de forma direta, é comum assumir e ; com cuidados de valor absoluto pode-se estender a outros ramos, mas a forma compacta obtida é - Há também a solução singular
. Verificação: se então e a equação original fica , logo satisfaz a equação (note que a forma com não representa , por isso é solução adicional).