Encontre
.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A expressão é a soma de
e de . - O ponto de interesse para o limite é
.
O que se pede: encontrar o valor numérico do limite.
Passo 2
Vamos usar leis básicas de limites — vou explicar cada uma com calma antes de aplicar. Três propriedades importantes:
- (Limite da soma) Se
e existem, então
Isto significa que podemos separar o limite da soma no somatório dos limites (desde que cada limite exista).
2. (Multiplicação por constante) Para qualquer constante ,
2. (Multiplicação por constante) Para qualquer constante
Ou seja, constantes saem do limite.
3. (Continuidade de funções usuais) Polinômios e funções trigonométricas como são contínuos em todo ponto, o que quer dizer que para essas funções o limite quando
é simplesmente o valor da função em
:
3. (Continuidade de funções usuais) Polinômios e funções trigonométricas como
Explicando “contínuo” de forma simples: continuidade é a propriedade que permite substituir
por
no lugar do limite — a função não “pula” no ponto.
Passo 3
Aplicando a propriedade 1 (limite da soma) ao nosso caso, escrevemos
desde que ambos os limites existam. Agora vamos calcular cada um separadamente.
Passo 4
Calcular
. Como
é um polinômio (potência inteira positiva), é contínuo em todo ponto; portanto o limite é o valor em
:
Explicando de forma bem direta: quando
fica muito pequeno,
fica ainda mais pequeno, tendendo a zero.
Passo 5
Calcular
. Primeiro aplico a propriedade 2 (constante sai do limite):
Agora precisamos de
. A função
é contínua em todo ponto, e a composição de funções contínuas é contínua; portanto
é contínua em
. Logo
Portanto
(Notinha didática: uma forma alternativa de ver que
é usar a expansão aproximada
para
pequeno — aqui
— e então perceber que o termo principal tende a
.)
Passo 6
Somando os resultados dos passos anteriores:
então