Encontre \lim _{x \rightarrow 0}\left(x^{3}+\frac{\cos 5 x}{10000}\right).

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0}\left(x^{3}+\frac{\cos 5x}{10000}\right).
Informações dadas:
  • A expressão é a soma de x^{3} e de \dfrac{\cos 5x}{10000}.
  • O ponto de interesse para o limite é x\to 0.
    O que se pede: encontrar o valor numérico do limite.

Passo 2

Vamos usar leis básicas de limites — vou explicar cada uma com calma antes de aplicar. Três propriedades importantes:
  1. (Limite da soma) Se \lim_{x\to a} f(x) e \lim_{x\to a} g(x) existem, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a} f(x)+\lim_{x\to a} g(x).
Isto significa que podemos separar o limite da soma no somatório dos limites (desde que cada limite exista).
2. (Multiplicação por constante) Para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c\cdot f(x)=c\cdot\lim_{x\to a} f(x).
Ou seja, constantes saem do limite.
3. (Continuidade de funções usuais) Polinômios e funções trigonométricas como \cos são contínuos em todo ponto, o que quer dizer que para essas funções o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a:
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)\quad\text{se \(p\) é polinômio,}éô
\lim_{x\to a} \cos x=\cos a.
Explicando “contínuo” de forma simples: continuidade é a propriedade que permite substituir x por a no lugar do limite — a função não “pula” no ponto.

Passo 3

Aplicando a propriedade 1 (limite da soma) ao nosso caso, escrevemos
\lim_{x\to 0}\left(x^{3}+\frac{\cos 5x}{10000}\right) = \lim_{x\to 0} x^{3} + \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x}{10000},
desde que ambos os limites existam. Agora vamos calcular cada um separadamente.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to 0} x^{3}. Como x^{3} é um polinômio (potência inteira positiva), é contínuo em todo ponto; portanto o limite é o valor em 0:
\lim_{x\to 0} x^{3}=0^{3}=0.
Explicando de forma bem direta: quando x fica muito pequeno, x^{3} fica ainda mais pequeno, tendendo a zero.

Passo 5

Calcular \lim_{x\to 0} \dfrac{\cos 5x}{10000}. Primeiro aplico a propriedade 2 (constante sai do limite):
\lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x}{10000}=\frac{1}{10000}\lim_{x\to 0}\cos 5x.
Agora precisamos de \lim_{x\to 0}\cos 5x. A função \cos é contínua em todo ponto, e a composição de funções contínuas é contínua; portanto \cos(5x) é contínua em x=0. Logo
\lim_{x\to 0}\cos 5x=\cos(5\cdot 0)=\cos 0=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x}{10000}=\frac{1}{10000}\cdot 1=\frac{1}{10000}.
(Notinha didática: uma forma alternativa de ver que \cos 5x\to 1 é usar a expansão aproximada \cos t\approx 1-\tfrac{t^{2}}{2} para t pequeno — aqui t=5x — e então perceber que o termo principal tende a 1.)

Passo 6

Somando os resultados dos passos anteriores:
\lim_{x\to 0} x^{3}=0,\qquad \lim_{x\to 0}\frac{\cos 5x}{10000}=\frac{1}{10000},
então
\lim_{x\to 0}\left(x^{3}+\frac{\cos 5x}{10000}\right)=0+\frac{1}{10000}=\frac{1}{10000}.

Resposta

\dfrac{1}{10000}

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