Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(y^{2}+y x) d x-x^{2} d y=0
(y^{2}+y x) d x-x^{2} d y=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
usando uma substituição apropriada. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação relaciona
, , e . - A solução buscada é uma família de funções
(com constante de integração). - Ao manipular a equação será necessário assumir
se for dividir por .
Passo 2
Isolando
para ver a forma do eixo das derivadas:
Dividindo ambos os lados por
e por
(assumindo
):
Agora escrevemos a razão de forma que apareça a razão
:
Passo 3
Motivação da substituição: a expressão do lado direito depende apenas da razão
. Então fazemos a substituição padrão para esses casos:
Explicando:
é uma nova função de
que representa a razão entre
e
. Assim
. Para derivar
em relação a
usamos a regra do produto:
Aqui
significa
e
é sua derivada.
Passo 4
Substitui-se a expressão de
e
na equação obtida no Passo 2:
Agora simplificamos cancelando
dos dois lados:
Passo 5
A equação obtida é separável em
e
. Explico o que significa “separar”: escrevemos todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro, para poder integrar ambos os lados:
Observação importante: ao dividir por
estamos assumindo
; o caso
é singular e será tratado separadamente.
Passo 6
Integramos ambos os lados. Calculo as integrais passo a passo:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
. Adicionando constante de integração
:
Passo 7
Isolando
da relação obtida:
Voltando à variável original (
), obtemos a solução geral (para
e
):
Aqui
é a constante arbitrária de integração.
Passo 8
Tratar o caso singular perdido na separação: se
então
. Verificamos na equação original se
é solução:
Substituindo em
obtemos
, portanto
é de fato uma solução (solução singular que não aparece na forma obtida por separação porque dividimos por
).
Substituindo