Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(y^{2}+y x) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
(y^{2}+y x)\,dx - x^{2}\,dy = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) usando uma substituição apropriada. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação relaciona x, y, dx e dy.
  • A solução buscada é uma família de funções y(x) (com constante de integração).
  • Ao manipular a equação será necessário assumir x\neq 0 se for dividir por x.

Passo 2

Isolando dy/dx para ver a forma do eixo das derivadas:
(y^{2}+y x)\,dx = x^{2}\,dy
Dividindo ambos os lados por dx e por x^{2} (assumindo x\neq 0):
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}+x y}{x^{2}}.
Agora escrevemos a razão de forma que apareça a razão y/x:
\frac{dy}{dx} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Motivação da substituição: a expressão do lado direito depende apenas da razão y/x. Então fazemos a substituição padrão para esses casos:
v = \frac{y}{x}.
Explicando: v é uma nova função de x que representa a razão entre y e x. Assim y = v x. Para derivar y em relação a x usamos a regra do produto:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v significa v(x) e \dfrac{dv}{dx} é sua derivada.

Passo 4

Substitui-se a expressão de \dfrac{dy}{dx} e v na equação obtida no Passo 2:
v + x\frac{dv}{dx} = v^{2} + v.
Agora simplificamos cancelando v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx} = v^{2}.

Passo 5

A equação obtida é separável em v e x. Explico o que significa “separar”: escrevemos todos os termos com v de um lado e todos os termos com x do outro, para poder integrar ambos os lados:
\frac{1}{v^{2}}\,dv = \frac{1}{x}\,dx.
Observação importante: ao dividir por v^{2} estamos assumindo v\neq 0; o caso v=0 é singular e será tratado separadamente.

Passo 6

Integramos ambos os lados. Calculo as integrais passo a passo:
\int \frac{1}{v^{2}}\,dv = \int \frac{1}{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é \int v^{-2}\,dv = -v^{-1}. A integral do lado direito é \int x^{-1}\,dx = \ln|x|. Adicionando constante de integração C:
-\,\frac{1}{v} = \ln|x| + C.

Passo 7

Isolando v da relação obtida:
\frac{1}{v} = -\ln|x| - C
v = -\frac{1}{\ln|x| + C}.
Voltando à variável original ( v = y/x), obtemos a solução geral (para x\neq 0 e v\neq 0):
\frac{y}{x} = -\frac{1}{\ln|x| + C}
y = -\,\frac{x}{\ln|x| + C}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração.

Passo 8

Tratar o caso singular perdido na separação: se v=0 então y=0. Verificamos na equação original se y\equiv 0 é solução:
Substituindo y=0 em (y^{2}+yx)\,dx - x^{2}\,dy=0 obtemos 0- x^{2}\cdot 0 = 0, portanto y\equiv 0 é de fato uma solução (solução singular que não aparece na forma obtida por separação porque dividimos por v^{2}).

Resposta

y = -\dfrac{x}{\ln|x| + C}
y = 0

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