Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes indeterminados via anuladores.
ly^i v-y^prime prime prime=x+e^x y(0)=y^prime(0)=y^prime prime(0)=y^prime prime prime(0)=0

Passo 1

A gente tem a EDO de 4ª ordem y^(4)-y^(3)=x+e^x com condições iniciais todas zeradas: y(0)=y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0. O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados com anuladores: primeiro achamos a solução complementar yc, depois a particular yp e por fim aplicamos as condições iniciais.

Passo 2

A equação característica associada a y^(4)-y^(3)=0 é
D^4-D^3=D^3(D-1)=0
Isso dá raízes D=0 (multiplicidade 3) e D=1. Logo a solução complementar é
yc = C1 + C2x + C3x^2 + C4e^x

Passo 3

Para achar yp, separamos o termo polinomial x e o exponencial e^x.
  1. Para x (grau 1) há ressonância com raiz zero de multiplicidade 3, então tentamos
yp1 = (Ax+B)x^3 = Ax^4 + Bx^3
Derivando e substituindo em y^(4)-y^(3)=x, obtemos o sistema
-24A = 1,
24A - 6B = 0,
que dá A=-tfrac124,;B=-tfrac16. Logo
yp1 = -tfrac124x^4 - tfrac16x^3

Passo 4

  1. Para e^x há ressonância com raiz 1 simples, então tentamos
yp2 = Cx e^x
Substituindo em y^(4)-y^(3)=e^x aparece Ce^x=e^x, logo C=1. Assim
yp2 = x e^x

Passo 5

A solução geral é
y = yc + yp1 + yp2 = C1 + C2x + C3x^2 + C4e^x - tfrac124x^4 - tfrac16x^3 + x e^x

Passo 6

Calculamos agora y, y', y'', y''' em 0 e impomos as condições iniciais para achar C1, C2, C3, C4. O sistema dá
C4=-2,;C1=2,;C2=1,;C3=0
Substituindo, obtemos a solução que satisfaz tudo.

Resposta

y(x)=2 + x - tfrac124x^4 - tfrac16x^3 + (x-2)e^x

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