Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO 4 x² y’’ + y = 0 com y(-1) = 2 e y’(-1) = 4. Isso é uma equação de Euler–Cauchy de 2ª ordem sem termo em y’, então vamos usar a técnica de suposição y = x^r.
Passo 2
Dividindo por 4 e multiplicando por x², a equação fica x² y’’ + \tfrac14 y = 0, que é da forma x² y’’ + a x y’ + b y = 0 com a = 0 e b = 1/4.
A equação característica é r² + (a-1)r + b = 0, ou seja r² - r + \tfrac14 = 0. Essa equação tem raiz dupla r = 1/2.
A equação característica é r² + (a-1)r + b = 0, ou seja r² - r + \tfrac14 = 0. Essa equação tem raiz dupla r = 1/2.
Passo 3
Para r = 1/2 duplo, a solução geral é y = C₁ x^{1/2} + C₂ x^{1/2} \ln|x|. Como as condições estão em x = -1 (x<0), definimos x^{1/2} = \sqrt{-x} e \ln|x| = \ln(-x). Logo
y = \sqrt{-x}\bigl(C₁ + C₂ \ln(-x)\bigr).
y = \sqrt{-x}\bigl(C₁ + C₂ \ln(-x)\bigr).
Passo 4
Substituindo y(-1)=2, temos \sqrt{-(-1)}=1 e \ln1=0, logo C₁=2. Para C₂, calculamos y’:
Em x=-1 isso dá
Como C₁=2, vem C₂ = -5.
Passo 5
Substituindo C₁ e C₂ na solução geral, obtemos a solução particular.
Resposta
[ y(x) = \sqrt{-x}\bigl(2 - 5\ln(-x)\bigr),\quad x<0. ]