Resolva a equação diferencial dada por:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}=16 \cdot \cos (2 x)
Sabendo que y(0)=0 e y^{\prime}(0)=0. Resolva.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y'' + 4y' = 16\cos(2x)
sujeita às condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar o método da soma da solução geral da homogênea e de uma particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Encontramos a solução da equação homogênea associada
y'' + 4y' = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 4r = r(r+4) = 0,
logo r_1=0 e r_2=-4. Assim
y_h(x) = C_1 + C_2 e^{-4x}.

Passo 3

Para a solução particular, assumimos um ansatz do tipo
y_p(x) = A\cos(2x) + B\sin(2x).
Calculamos as derivadas:
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p'' = -4A\cos(2x) - 4B\sin(2x).

Passo 4

Substituindo na equação original:
y_p'' + 4y_p' = \bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr) +4\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr).
Agrupando coeficientes de \cos(2x)\) e \(\sin(2x)\), obtemos \[(-4A + 8B)\cos(2x) +(-4B -8A)\sin(2x) = 16\cos(2x).
Isto gera o sistema
\begin{cases} -4A + 8B = 16,\\\\ -8A - 4B = 0. \end{cases}
Da segunda equação B=-2A\]. Substituindo na primeira vem \(-4A+8(-2A)=-20A=16, logo A=-\tfrac{4}{5} e B=\tfrac{8}{5}.

Passo 5

A solução geral é a soma
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 + C_2 e^{-4x} -\frac{4}{5}\cos(2x) + \frac{8}{5}\sin(2x).

Passo 6

Usamos y(0)=0 e y'(0)=0. Primeiro,
y(0)=C_1 + C_2 -\frac{4}{5}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac{4}{5}.
Em seguida calculamos
y'(x)=-4C_2 e^{-4x} + \frac{8}{5}\sin(2x) + \frac{16}{5}\cos(2x),
então
y'(0)=-4C_2 + \tfrac{16}{5}=0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{4}{5},
e daí C_1 = \tfrac{4}{5}-\tfrac{4}{5}=0.

Resposta

y(x) = \frac{4}{5}e^{-4x} -\frac{4}{5}\cos(2x) +\frac{8}{5}\sin(2x).

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