Dois tanques de mistura estavam conectados em série, os quais são utilizados para adequar a concentração de hidróxido de sódio em um determinado processo. Após realizar um balanço de massa para os dois tanques, obteve-se o sistema de equações diferenciais apresentados a seguir. Neste sistema, x representa a concentração de NaOH no tanque 1 e y representa a concentração de NaOH no tanque 2 . Encontre a expressão para
e
em função do tempo, sabendo em
, tem-se
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
onde
e
são as concentrações nos tanques 1 e 2. O objetivo é usar o método de autovalores e autovetores para resolver esse sistema e depois impor as condições iniciais
e
.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial
, com
Para achar os autovalores
, resolvemos
Expandindo, obtemos
logo
Passo 3
Para
, resolvemos
, ou seja
Tomando
.
Para , resolvemos
, ou seja
Para
Tomando
.]
Passo 4
A solução geral do sistema é
Em
temos
isto é
Resolvendo, vem
e
.
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral obtemos