Dois tanques de mistura estavam conectados em série, os quais são utilizados para adequar a concentração de hidróxido de sódio em um determinado processo. Após realizar um balanço de massa para os dois tanques, obteve-se o sistema de equações diferenciais apresentados a seguir. Neste sistema, x representa a concentração de NaOH no tanque 1 e y representa a concentração de NaOH no tanque 2 . Encontre a expressão para x(t) e y(t) em função do tempo, sabendo em t=0, tem-se x=10 \mathrm{~g} / \mathrm{Le} \mathrm{y}=5 \mathrm{~g} / \mathrm{L}.
\left\{\begin{array}{c} \frac{d x}{d t}=-x+8 y \\\ \frac{d y}{d t}=x+y \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear homogêneo com coeficientes constantes
\frac{dx}{dt} = -\,x + 8\,y, \qquad \frac{dy}{dt} = x + y,
onde x(t) e y(t) são as concentrações nos tanques 1 e 2. O objetivo é usar o método de autovalores e autovetores para resolver esse sistema e depois impor as condições iniciais x(0)=10 e y(0)=5.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial \frac{d}{dt}\mathbf{X}=A\,\mathbf{X}, com
\mathbf{X}=\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}-1 & 8 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}.
Para achar os autovalores \lambda, resolvemos
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & 8 \\[6pt] 1 & 1-\lambda\end{pmatrix} =0.
Expandindo, obtemos
(-1-\lambda)(1-\lambda)-8 = \lambda^2 -9 = 0,
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\lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = -3.]

Passo 3

Para \lambda_1=3, resolvemos (A-3I)v=0, ou seja
\begin{pmatrix}-4 & 8\\[3pt] 1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; v_2 = \tfrac{1}{2}v_1.
Tomando v^{(1)}=(2,1).
Para \lambda_2=-3, resolvemos (A+3I)w=0, ou seja
\begin{pmatrix}2 & 8\\[3pt] 1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\w_2\end{pmatrix} =0 \;\Longrightarrow\; w_1 = -4\,w_2.
Tomando w^{(2)}=(-4,1).]

Passo 4

A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}x(t)\y(t)\end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} e^{3t} + C_2 \begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix} e^{-3t}.
Em t=0 temos
\begin{pmatrix}10\\\ 5\end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix} + C_2 \begin{pmatrix}-4\\\ 1\end{pmatrix},
isto é
2C_1 - 4C_2 = 10, \quad C_1 + C_2 = 5.
Resolvendo, vem C_2=0 e C_1=5.

Passo 5

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos
\boxed{ x(t) = 10\,e^{3t}, \quad y(t) = 5\,e^{3t}. }

Resposta

x(t)=10\,e^{3t} y(t)=5\,e^{3t}

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