1.Considere a equação diferencial dada por

y^{\prime \prime}-16 y=2 e^{4 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-16y=2e^{4x}.
Para resolver, vamos encontrar a solução geral da homogênea associada e depois uma solução particular da não homogênea.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-16y=0.
A equação característica é
r^2-16=0\;\Longrightarrow\;r=\pm4.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}.

Passo 3

Para a particular, o termo forçante é 2e^{4x}. Como e^{4x} é solução da homogênea, tentamos
y_p(x)=A\,x\,e^{4x}.
Calculando suas derivadas:
y_p'=A(1+4x)e^{4x}, \qquad y_p''=A(8+16x)e^{4x}.
Substituindo em y''-16y=2e^{4x}:
A(8+16x)e^{4x}-16\bigl(Ax\,e^{4x}\bigr) =8A\,e^{4x} \overset!=2e^{4x} \quad\Longrightarrow\quad A=\tfrac14.
Logo,
y_p(x)=\tfrac14\,x\,e^{4x}.

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}+\tfrac14\,x\,e^{4x}.

Resposta

y(x)=C_1e^{4x}+C_2e^{-4x}+\frac{1}{4}\,x\,e^{4x}.

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