Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
\frac{d x}{d y}=\frac{1+y^{2}}{y \cdot \operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d x}{d y}=\frac{1+y^{2}}{y\cdot \operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A incógnita é a função x em função de y (ou seja, queremos x(y) ou uma relação implícita entre x e y).
  • A equação está escrita como taxa de variação de x em relação a y: \dfrac{dx}{dy}=\cdots.
  • Note que há pontos onde a equação não está definida: y=0 (porque aparece y no denominador) e pontos onde \operatorname{sen}(x)=0 tornam o lado direito infinito. Então devemos considerar y\neq 0 e prestar atenção ao domínio da solução.
  • Não há condições iniciais fornecidas, logo vamos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos separar as variáveis (ou seja, agrupar termos contendo x com dx e termos contendo y com dy). Partimos de
\frac{dx}{dy}=\frac{1+y^{2}}{y\cdot \operatorname{sen}(x)}.
Multiplicando ambos os lados por \operatorname{sen}(x)\,dy obtemos:
\operatorname{sen}(x)\,dx=\frac{1+y^{2}}{y}\,dy.
Explicação do passo: estamos usando regras algébricas básicas (multiplicar ambos os lados por uma expressão não nula). Aqui tratamos dx e dy como diferenciais; o objetivo é ter um lado só em x e outro só em y para poder integrar.

Passo 3

Simplificamos a expressão do lado direito: dividir polinômio por y:
\frac{1+y^{2}}{y}=\frac{1}{y}+y.
Portanto a equação separada fica
\operatorname{sen}(x)\,dx=\left(\frac{1}{y}+y\right)dy.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Aqui usamos as regras básicas de integração:
  • \displaystyle \int \operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C, porque a derivada de \cos(x) é -\operatorname{sen}(x).
  • \displaystyle \int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y|+C, porque a derivada de \ln|y| é \dfrac{1}{y}. O valor absoluto aparece para incluir y<0.
  • \displaystyle \int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C, pela regra potência: \int y^{n}dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.
Aplicando as integrais em ambos os lados:
\int \operatorname{sen}(x)\,dx=\int\left(\frac{1}{y}+y\right)dy
leva a
-\cos(x)=\ln|y|+\frac{y^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração (única constante que aparece porque juntamos as integrais).

Passo 5

Isolamos uma forma mais conveniente da solução. Multiplicando por -1 e reunindo a constante em uma nova constante C_{1} (onde C_{1}=-C) obtemos a forma implícita
\cos(x)=-\ln|y|-\frac{y^{2}}{2}+C_{1}.
Comentários sobre constantes e domínio:
  • C_{1} é uma constante real arbitrária que caracteriza cada solução da família.
  • A expressão acima é uma solução implícita válida para y\neq 0.
  • Se quisermos isolar x, usamos a função arco cosseno:
x(y)=\operatorname{arccos}\!\left(C_{1}-\ln|y|-\frac{y^{2}}{2}\right).
Mas atenção: para x(y) real é necessário que o argumento de \operatorname{arccos} esteja no intervalo [-1,1]. Então a forma implícita é mais geral e evita ter que verificar esse domínio imediatamente.

Passo 6

Verificações e observações finais rápidas:
  • Não existem soluções constantes x=\text{const}, porque para \dfrac{dx}{dy}=0 o lado direito deveria ser zero, mas \dfrac{1+y^{2}}{y\sin(x)} não é zero (o numerador 1+y^{2}>0 para todo y).
  • Lembre-se sempre de excluir y=0 do domínio da solução, pois a equação original não está definida aí.
  • Se for dada uma condição inicial do tipo x(y_{0})=x_{0}, basta substituir y=y_{0} e x=x_{0} na forma implícita para determinar C_{1}.

Resposta

\cos(x)=-\ln|y|-\dfrac{y^{2}}{2}+C_{1}\n
x(y)=\operatorname{arccos}\!\left(C_{1}-\ln|y|-\dfrac{y^{2}}{2}\right) (com y\neq 0 e argumento de \operatorname{arccos} em [-1,1])

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