Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e observações iniciais:
- A incógnita é a função
em função de (ou seja, queremos ou uma relação implícita entre e ). - A equação está escrita como taxa de variação de
em relação a : . - Note que há pontos onde a equação não está definida:
(porque aparece no denominador) e pontos onde tornam o lado direito infinito. Então devemos considerar e prestar atenção ao domínio da solução. - Não há condições iniciais fornecidas, logo vamos obter a família geral de soluções com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos separar as variáveis (ou seja, agrupar termos contendo
com
e termos contendo
com
). Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
obtemos:
Explicação do passo: estamos usando regras algébricas básicas (multiplicar ambos os lados por uma expressão não nula). Aqui tratamos
e
como diferenciais; o objetivo é ter um lado só em
e outro só em
para poder integrar.
Passo 3
Simplificamos a expressão do lado direito: dividir polinômio por
:
Portanto a equação separada fica
Passo 4
Integramos ambos os lados. Aqui usamos as regras básicas de integração:
-
, porque a derivada de é . -
, porque a derivada de é . O valor absoluto aparece para incluir . -
, pela regra potência: para .
Aplicando as integrais em ambos os lados:
leva a
onde
é a constante de integração (única constante que aparece porque juntamos as integrais).
Passo 5
Isolamos uma forma mais conveniente da solução. Multiplicando por
e reunindo a constante em uma nova constante
(onde
) obtemos a forma implícita
Comentários sobre constantes e domínio:
-
é uma constante real arbitrária que caracteriza cada solução da família. - A expressão acima é uma solução implícita válida para
. - Se quisermos isolar
, usamos a função arco cosseno:
Mas atenção: para
real é necessário que o argumento de
esteja no intervalo
. Então a forma implícita é mais geral e evita ter que verificar esse domínio imediatamente.
Passo 6
Verificações e observações finais rápidas:
- Não existem soluções constantes
, porque para o lado direito deveria ser zero, mas não é zero (o numerador para todo ). - Lembre-se sempre de excluir
do domínio da solução, pois a equação original não está definida aí. - Se for dada uma condição inicial do tipo
, basta substituir e na forma implícita para determinar .