O modelo para o sistema massa-mola é descrito por
. Examinando somente a equação diferencial, discuta o comportamento do sistema por um longo período.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede que eu discuta o comportamento do sistema para tempos longos. Informações relevantes que temos:
A pergunta é: olhando só essa equação, o que acontece com
quando
?
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação na forma padrão de um oscilador com frequência dependente do tempo. Dividindo por
obtenho
onde definimos
Tomando a raiz positiva, a frequência instantânea é
Aqui
é a frequência angular instantânea: se fosse constante teríamos oscilações harmônicas com essa frequência.
Passo 3
Analiso o limite de
e de
quando
. Como
quando
, temos
Logo, para tempos muito grandes o termo restaurador
fica desprezível e a equação aproxima-se de
A solução geral da equação limite
é
com
constantes determinadas pelas condições iniciais e pela evolução até esse regime. Isso indica que, em princípio, o movimento tende a uma função afim (reta), isto é, comportamento livre com velocidade assintótica constante.
Passo 4
Agora explico o que ocorre antes de chegar a esse regime e quantas oscilações podem ocorrer. Uma medida útil é a fase total acumulada
Calculando a integral:
O número de oscilações em radianos dividido por
é
, portanto o número total de ciclos para todo o tempo é
Interpretação física e prática: a frequência decai tão rapidamente que o sistema executa apenas um número finito de oscilações (aqui cerca de
oscilações) antes de a oscilação “morrer” e o movimento tender ao comportamento não oscilatório descrito no passo anterior.
Passo 5
Vou estudar a energia mecânica para entender como a energia evolui. Defino a energia instantânea como
aqui
e
. Substituindo
,
Derivando
em relação a
e usando a equação do movimento obtenho (cálculo direto):
Como
, segue que
: a energia decresce com o tempo (o termo que depende explicitamente do tempo no potencial retira energia do sistema). Como
, a parte potencial tende a zero e o limite da energia, se existir, é puramente cinético:
Portanto a velocidade assintótica
existe e é finita; assim o movimento tende a uma reta de declive
.
Passo 6
Dou uma justificativa técnica curta de por que
tem limite. Escrevo
. Da equação original,
O termo da direita é do tipo função exponencial decrescente multiplicada por
. Se
crescesse mais rápido que linear, o próprio sinal restaurador (ainda que pequeno) impediria crescimento explosivo — na prática pode-se provar por estimativas simples que
não cresce mais rápido que linear. Admitindo que
no pior caso, o produto
é integrável no intervalo
porque a exponencial domina o crescimento polinomial. Assim
o que implica que
tende a um limite finito
. Integrando, obtemos então
ou seja, convergência para uma função afim. O valor exato de
depende das condições iniciais e da evolução transitória.
Passo 7
Resumo físico e intuitivo, estilo amigo que te encoraja: no começo o sistema pode oscilar uma ou duas vezes — a mola é forte no início — mas a rigidez da mola decai exponencialmente (o
vai para zero) e a frequência vai a zero. Como consequência, as oscilações não persistem: a fase total acumulada é finita (cerca de
radianos, ou
ciclos), então depois disso o comportamento oscilatório some. A energia decresce porque a “mola” está enfraquecendo com o tempo, e o sistema tende a mover-se livremente com velocidade constante determinada pelas condições iniciais. Se por acaso
(caso especial das condições iniciais), então a solução tende a uma constante; caso contrário tenda a uma reta com inclinação
. Força que te anima: não é um comportamento caótico — é bem simples no longo prazo!
Resposta
Para
:
, acontece que o termo restaurador vai a zero e
tende a uma função afim
com
finito determinado pelas condições iniciais; o sistema executa apenas
oscilações no total, a energia decresce (pois
) e a solução torna‑se assintoticamente não oscilatória (reta) — se
tende a constante, senão a uma reta com declive
.