Uma massa de 1 slug é suspensa a partir de uma mola cuja constante vale
. A massa é inicialmente lançada a partir de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade ascendente de 13 pés/s. Encontre os instantes em que a massa se dirige para baixo a uma velocidade de 3 pés/s.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede isto claramente:
- Informações dadas:
- Massa:
slug. - Constante da mola:
lb/pé. - Posição inicial: a massa é lançada a partir de um ponto
pé acima da posição de equilíbrio (logo se escolhermos positivo para cima e na posição de equilíbrio). - Velocidade inicial: velocidade ascendente de
pés/s (logo com o mesmo sinal convetido).
- Massa:
- O que se pede:
- Encontrar os instantes
em que a massa se dirige para baixo com velocidade de pés/s. Como escolhemos positivo para cima, “direcionar-se para baixo a 3 pés/s” significa .
- Encontrar os instantes
Passo 2
Modelagem física (equação do movimento) e escolha das variáveis:
- Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a segunda lei de Newton dá
onde:
-
é a massa (em slugs), -
é a constante da mola (em lb/pé), -
é o deslocamento vertical medido a partir da posição de equilíbrio (em pés), -
é a aceleração (em pés/s ). - Aqui
e . Substituindo:
- Definimos a frequência angular natural
- A equação fica
que é a equação do movimento harmônico simples.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial e interpretação das constantes:
- A solução geral da equação
é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
- Com
,
- Derivando para obter a velocidade:
- Aplicando as condições iniciais:
-
. -
.
-
- Portanto:
(Observação didática: cada termo tem interpretação física: termo em
corresponde à contribuição da posição inicial, termo em
à contribuição da velocidade inicial.)
Passo 4
Equação para os instantes procurados e rearranjo:
- Queremos os tempos
tais que . Ou seja,
- Reorganizando:
- Para resolver uma equação do tipo
é conveniente escrever o lado esquerdo como uma única função cosseno deslocada:
onde
(com atenção ao quadrante de
). Aqui
e
.
Passo 5
Cálculo de amplitude e fase; transformação trigonométrica:
- Calcule
:
- Calcule
:
(Nesta posição
é um pequeno ângulo negativo, cerca de
rad.)
- Assim
- A equação original vira
- Dividindo:
- Numericamente,
, logo o lado direito vale aproximadamente .
Passo 6
Solução da equação trigonométrica e obtenção das famílias de tempos:
- Para
as soluções gerais são
- Tomando
e , temos
ou
-
Usando os valores numéricos:
-
rad. -
rad.
-
-
Substituindo e isolando
: Primeira família:
Segunda família:
Para obter termos positivos é comum escrever a segunda família adicionando
a
(correspondente a escolher outro inteiro
), o que dá para um representante positivo:
- Portanto existem duas famílias de instantes (separadas por meio período) em que
. O período do movimento é , que aparece acima como período entre soluções repetidas.