Uma massa de 1 slug é suspensa a partir de uma mola cuja constante vale 9 \mathrm{lb} / \mathrm{pé}é. A massa é inicialmente lançada a partir de um ponto 1 pé acima da posição de equilíbrio a uma velocidade ascendente de 13 pés/s. Encontre os instantes em que a massa se dirige para baixo a uma velocidade de 3 pés/s.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede isto claramente:
  • Informações dadas:
    • Massa: \,1 slug.
    • Constante da mola: \,9 lb/pé.
    • Posição inicial: a massa é lançada a partir de um ponto \,1 pé acima da posição de equilíbrio (logo \,y(0)=1 se escolhermos y positivo para cima e y=0 na posição de equilíbrio).
    • Velocidade inicial: velocidade ascendente de \,13 pés/s (logo \,y'(0)=13 com o mesmo sinal convetido).
  • O que se pede:
    • Encontrar os instantes t em que a massa se dirige para baixo com velocidade de \,3 pés/s. Como escolhemos y positivo para cima, “direcionar-se para baixo a 3 pés/s” significa y'(t)=-3.

Passo 2

Modelagem física (equação do movimento) e escolha das variáveis:
  • Para um sistema massa-mola sem amortecimento, a segunda lei de Newton dá
m\,y''(t) + k\,y(t) = 0,
onde:
  • m é a massa (em slugs),
  • k é a constante da mola (em lb/pé),
  • y(t) é o deslocamento vertical medido a partir da posição de equilíbrio (em pés),
  • y''(t) é a aceleração (em pés/s ^2).
  • Aqui m=1 e k=9. Substituindo:
y''(t) + \frac{k}{m}\,y(t) = 0 \quad\Rightarrow\quad y''(t) + 9\,y(t) = 0.
  • Definimos a frequência angular natural
\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{9} = 3\quad(\text{rad/s}).
  • A equação fica
y''(t) + 3^{2} y(t) = 0,
que é a equação do movimento harmônico simples.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial e interpretação das constantes:
  • A solução geral da equação y''+\omega^{2}y=0 é
y(t)=C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t),
onde C_{1} e C_{2} são constantes determinadas pelas condições iniciais.
  • Com \omega=3,
y(t)=C_{1}\cos(3t)+C_{2}\sin(3t).
  • Derivando para obter a velocidade:
y'(t) = -3C_{1}\sin(3t) + 3C_{2}\cos(3t).
  • Aplicando as condições iniciais:
    • y(0)=1 \Rightarrow C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}=1.
    • y'(0)=13 \Rightarrow -3C_{1}\sin 0 + 3C_{2}\cos 0 = 3C_{2}=13 \Rightarrow C_{2}=\dfrac{13}{3}.
  • Portanto:
y(t)=\cos(3t)+\frac{13}{3}\sin(3t),
y'(t)=-3\sin(3t)+13\cos(3t).
(Observação didática: cada termo tem interpretação física: termo em \cos corresponde à contribuição da posição inicial, termo em \sin à contribuição da velocidade inicial.)

Passo 4

Equação para os instantes procurados e rearranjo:
  • Queremos os tempos t tais que y'(t)=-3. Ou seja,
-3\sin(3t)+13\cos(3t) = -3.
  • Reorganizando:
13\cos(3t)-3\sin(3t) = -3.
  • Para resolver uma equação do tipo A\cos x + B\sin x = D é conveniente escrever o lado esquerdo como uma única função cosseno deslocada:
A\cos x + B\sin x = R\cos(x-\alpha),
onde
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \alpha=\arctan\!\left(\frac{B}{A}\right)
(com atenção ao quadrante de \alpha). Aqui A=13 e B=-3.

Passo 5

Cálculo de amplitude e fase; transformação trigonométrica:
  • Calcule R:
R=\sqrt{13^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{169+9}=\sqrt{178}.
  • Calcule \alpha:
\alpha=\arctan\!\left(\frac{B}{A}\right)=\arctan\!\left(\frac{-3}{13}\right)=-\arctan\!\left(\frac{3}{13}\right).
(Nesta posição \alpha é um pequeno ângulo negativo, cerca de -0,226669 rad.)
  • Assim
13\cos(3t)-3\sin(3t)=\sqrt{178}\,\cos\big(3t-\alpha\big).
  • A equação original vira
\sqrt{178}\,\cos\big(3t-\alpha\big) = -3.
  • Dividindo:
\cos\big(3t-\alpha\big) = -\frac{3}{\sqrt{178}}.
  • Numericamente, \dfrac{3}{\sqrt{178}}\approx 0,224972, logo o lado direito vale aproximadamente -0,224972.

Passo 6

Solução da equação trigonométrica e obtenção das famílias de tempos:
  • Para \cos(\theta)=c as soluções gerais são
\theta = \operatorname{arccos}\text{(c)} + 2\pi n \quad\text{ou}\quad \theta = -\operatorname{arccos}\text{(c)} + 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Tomando \theta=3t-\alpha e c=-\dfrac{3}{\sqrt{178}}, temos
3t-\alpha = \operatorname{arccos}\!\left(-\frac{3}{\sqrt{178}}\right) + 2\pi n
ou
3t-\alpha = -\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{3}{\sqrt{178}}\right) + 2\pi n.
  • Usando os valores numéricos:
    • \operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{3}{\sqrt{178}}\right)\approx 1,797972 rad.
    • \alpha \approx -0,226669 rad.
  • Substituindo e isolando t:
    Primeira família:
    3t = 1,797972 + \alpha + 2\pi n = 1,797972 -0,226669 + 2\pi n = 1,571303 + 2\pi n,
t = \frac{1,571303 + 2\pi n}{3} = 0,5237676 + \frac{2\pi}{3}n.
Segunda família:
3t = -1,797972 + \alpha + 2\pi n = -1,797972 -0,226669 + 2\pi n = -2,024641 + 2\pi n,
t = \frac{-2,024641 + 2\pi n}{3}.
Para obter termos positivos é comum escrever a segunda família adicionando 2\pi a -2,024641 (correspondente a escolher outro inteiro n), o que dá para um representante positivo:
t = 1,4195147 + \frac{2\pi}{3}n.
  • Portanto existem duas famílias de instantes (separadas por meio período) em que y'(t)=-3. O período do movimento é T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{3}, que aparece acima como período entre soluções repetidas.

Resposta

t = 0,5237676 + \dfrac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb{Z}
t = 1,4195147 + \dfrac{2\pi}{3}n,\quad n\in\mathbb{Z}

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