Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
2 y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}+3 y=0, em torno de x=2
[
+a_{1}\left((x-2)-\frac{3}{4}(x-2){2}+\frac{1}{24}(x-2){3}+\frac{9}{64}(x-2)^{4}+\cdots\right)
]

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em série de potências em torno de x_0=2, a EDO
2\,y''+(x+1)\,y'+3\,y=0,
isto é, escrever
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(x-2)^n
e encontrar uma fórmula fechada para o termo geral a_n. Depois devemos identificar as duas séries independentes (as duas soluções fundamentais) e determinar o intervalo de validade (raio de convergência).

Passo 2

Substituindo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n t^n,\quad t=x-2,
temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_n\,t^{n-1}, \quad y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n\,t^{n-2}.
No ODE, escrevemos x=t+2, logo x+1=t+3, e agrupamos potências de t^m. O resultado é a condição de anulamento dos coeficientes de t^m, que leva à relação de recorrência:

Passo 3

Para n\ge2 obtemos
2\,n(n-1)\,a_n\;+\;3\,(n-1)\,a_{n-1}\;+\;(n+1)\,a_{n-2}\;=\;0,
ou seja, a fórmula fechada para o termo geral é
\boxed{% a_n \;=\; -\frac{3\,(n-1)\,a_{n-1} \;+\;(n+1)\,a_{n-2}}{2\,n\,(n-1)}, \quad n\ge2. }
As constantes a_0 e a_1 ficam livres e definem as duas soluções independentes:
  • Solução 1: toma-se a_0=1,\;a_1=0.
  • Solução 2: toma-se a_0=0,\;a_1=1, que reproduz a série dada:
y_2(x)= (x-2)-\tfrac{3}{4}(x-2)^2+\tfrac{1}{24}(x-2)^3+\tfrac{9}{64}(x-2)^4+\cdots.

Passo 4

Portanto a solução geral é
\boxed{% y(x)=a_0\,y_1(x)\;+\;a_1\,y_2(x), }
onde y_1 e y_2 são as séries obtidas pelas escolhas iniciais acima e cujos coeficientes são dados pelo mesmo recorrência fechada do passo anterior.

Passo 5

Para determinar o raio de convergência R basta aplicar o teste da razão. Da recorrência, para n grande,
\bigl|a_n/a_{n-1}\bigr|\sim \frac{\text{const}}{n}\quad\Longrightarrow\quad R=\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n-1}}{a_n}\Bigr|=\infty.
Logo a solução em série converge para todo x\in\mathbb{R}$.

Resposta

A fórmula fechada do termo geral é
a_n = -\frac{3\,(n-1)\,a_{n-1} + (n+1)\,a_{n-2}}{2\,n\,(n-1)}, \quad n\ge2,
com a_0,a_1 livres. As duas soluções independentes são obtidas definindo (a_0,a_1)=(1,0) e (0,1), esta última reproduzindo
y_2(x)= (x-2)-\tfrac{3}{4}(x-2)^2+\tfrac{1}{24}(x-2)^3+\tfrac{9}{64}(x-2)^4+\cdots.
O raio de convergência é R=\infty, ou seja, a solução em série vale para todo x\in\mathbb{R}.

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