Resolva a equação diferencial dada em série de potências. Escreva uma fórmula fechada para o termo geral de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida. 2 y^{\prime \prime}+(x+1) y^{\prime}+3 y=0, em torno de x=2
[
+a_{1}\left((x-2)-\frac{3}{4}(x-2){2}+\frac{1}{24}(x-2){3}+\frac{9}{64}(x-2)^{4}+\cdots\right)
]
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em série de potências em torno de x_0=2, a EDO
2\,y''+(x+1)\,y'+3\,y=0,
isto é, escrever
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(x-2)^n
e encontrar uma fórmula fechada para o termo geral a_n. Depois devemos identificar as duas séries independentes (as duas soluções fundamentais) e determinar o intervalo de validade (raio de convergência).
No ODE, escrevemos x=t+2, logo x+1=t+3, e agrupamos potências de t^m. O resultado é a condição de anulamento dos coeficientes de t^m, que leva à relação de recorrência: