1. Uma definição para a função gama é dada pela integral imprópria \Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty} t^{\alpha-1} e^{-t} d t, \alpha>0.
    (a) Mostre que \Gamma(\alpha+1)=\alpha \Gamma(\alpha).
    (b) Mostre que \mathcal{L}\left(t^{\alpha}\right)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}, \alpha>-1.

Passo 1

O enunciado define a função Gama por
\Gamma(\alpha)=\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt,\quad \alpha>0,
e pede:
(a) mostrar a relação de recorrência \Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha);
(b) calcular a transformada de Laplace de t^\alpha e provar
\mathcal{L}\bigl(t^{\alpha}\bigr)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}},\quad \alpha>-1.
Vamos usar técnicas de integração por partes para (a) e mudança de variável para (b).

Passo 2

Para (a), consideramos
\Gamma(\alpha+1)=\int_{0}^{\infty}t^{(\alpha+1)-1}e^{-t}\,dt=\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t}\,dt.
Aplicamos integração por partes escolhendo
\begin{cases} u = t^{\alpha}, & dv = e^{-t}\,dt,\\\ du = \alpha\,t^{\alpha-1}\,dt, & v = -e^{-t}. \end{cases}
Então
\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t}\,dt =\Bigl[-t^{\alpha}e^{-t}\Bigr]_{0}^{\infty} +\alpha\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt.
No limite superior t\to\infty, t^{\alpha}e^{-t}\to0; em t=0, t^{\alpha}e^{-t}\to0. Logo o termo de fronteira é zero e sobra
\Gamma(\alpha+1)=\alpha\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt=\alpha\,\Gamma(\alpha).

Passo 3

Para (b), usamos a definição da transformada de Laplace:
\mathcal{L}\bigl(t^{\alpha}\bigr) =\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-st}\,dt,\quad \alpha>-1,\;s>0.
Fazemos a mudança de variável u = s\,t, de modo que t = u/s e dt = du/s. Assim
\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}\Bigl(\frac{u}{s}\Bigr)^{\alpha}e^{-u}\,\frac{du}{s} =\frac{1}{s^{\alpha+1}}\int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{-u}\,du.
Mas
\int_{0}^{\infty}u^{\alpha}e^{-u}\,du=\Gamma(\alpha+1)
pela definição da função Gama com parâmetro \alpha+1. Logo
\mathcal{L}\bigl(t^{\alpha}\bigr) =\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}}.

Resposta

(a) \Gamma(\alpha+1)=\alpha\,\Gamma(\alpha).
(b) \displaystyle \mathcal{L}\bigl(t^{\alpha}\bigr)=\frac{\Gamma(\alpha+1)}{s^{\alpha+1}},\\ \alpha>-1.

Exercícios relacionados