- Uma definição para a função gama é dada pela integral imprópria
.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função Gama por
e pede:
(a) mostrar a relação de recorrência ;
(b) calcular a transformada de Laplace de e provar
(a) mostrar a relação de recorrência
(b) calcular a transformada de Laplace de
Vamos usar técnicas de integração por partes para (a) e mudança de variável para (b).
Passo 2
Para (a), consideramos
Aplicamos integração por partes escolhendo
Então
No limite superior
,
; em
,
. Logo o termo de fronteira é zero e sobra
Passo 3
Para (b), usamos a definição da transformada de Laplace:
Fazemos a mudança de variável
, de modo que
e
. Assim
Mas
pela definição da função Gama com parâmetro
. Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)