Resolva a equação diferencial dada em série de potências de
(em torno de
). Escreva os três primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
O problema pede para resolver a EDO (2+x²) y’’ – x y’ + 4 y = 0 por série de potências em torno de x₀=0, usando o método de expansões em séries, e depois extrair os três primeiros termos não nulos de cada uma das duas séries (parte par e parte ímpar). Também precisamos determinar o intervalo de validade da solução.
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série de potências em torno de zero:
Substituindo na EDO (2+x²)y’’–x y’+4y=0, agrupamos potências de x.
Passo 3
Após alinhar todas as somas em potências x^m, obtemos a relação de recorrência:
que leva a
Passo 4
Aplicamos as condições iniciais y(0)=a_0=-3 e y’(0)=a_1=2. A seguir calculamos os três primeiros coeficientes não nulos de cada série:
Para a parte par (m=0 e m=2):
Para a parte par (m=0 e m=2):
Para a parte ímpar (m=1 e m=3):
Passo 5
Escrevemos então as duas séries com os três primeiros termos não nulos cada:
Passo 6
O ponto ordinário x=0 perde a analiticidade quando 2+x²=0, ou seja em x=±i√2. Logo o raio de convergência da série em torno de 0 é R=√2, e a solução é válida para |x|<√2.
Resposta
As duas séries (três primeiros termos não nulos) são:
O intervalo de validade é |x|<√2.