Resolva a equação diferencial dada em série de potências de x (em torno de x0=0 ). Escreva os três primeiros termos não nulos (se existirem) de cada série que compõe a solução. Dê um intervalo onde a solução é válida.
(2+x^2) y^prime prime-x y^prime+4 y=0, y(0)=-3, y^prime(0)=2.

Passo 1

O problema pede para resolver a EDO (2+x²) y’’ – x y’ + 4 y = 0 por série de potências em torno de x₀=0, usando o método de expansões em séries, e depois extrair os três primeiros termos não nulos de cada uma das duas séries (parte par e parte ímpar). Também precisamos determinar o intervalo de validade da solução.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série de potências em torno de zero:
y(x)=sumn=0^inftyan x^n, y'(x)=sumn=1^inftyn an x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1) an x^n-2
Substituindo na EDO (2+x²)y’’–x y’+4y=0, agrupamos potências de x.

Passo 3

Após alinhar todas as somas em potências x^m, obtemos a relação de recorrência:
2(m+2)(m+1)am+2+(m^2-2m+4)am=0
que leva a
am+2=-m^2-2m+42(m+2)(m+1),am

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais y(0)=a_0=-3 e y’(0)=a_1=2. A seguir calculamos os três primeiros coeficientes não nulos de cada série:
Para a parte par (m=0 e m=2):
a2=-0^2-2·0+42·2·1a0=3, a4=-2^2-2·2+42·4·3a2=-tfrac12
Para a parte ímpar (m=1 e m=3):
a3=-1^2-2·1+42·3·2a1=-tfrac12, a5=-3^2-2·3+42·5·4a3=tfrac780

Passo 5

Escrevemos então as duas séries com os três primeiros termos não nulos cada:
yrm par(x)=a0+a2x^2+a4x^4=-3+3x^2-tfrac12x^4+cdots,
yrm ímpar(x)=a1x+a3x^3+a5x^5=2x-tfrac12x^3+tfrac780x^5+cdots í

Passo 6

O ponto ordinário x=0 perde a analiticidade quando 2+x²=0, ou seja em x=±i√2. Logo o raio de convergência da série em torno de 0 é R=√2, e a solução é válida para |x|<√2.

Resposta

As duas séries (três primeiros termos não nulos) são:
yrm par(x)=-3+3x^2-tfrac12x^4+cdots,
yrm ímpar(x)=2x-tfrac12x^3+tfrac780x^5+cdots í
O intervalo de validade é |x|<√2.

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