A partir da série de Fourier da onda triangular (Exemplo 1 da Seção 10.2), mostre que
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a série de Fourier da onda triangular para mostrar que
. Estamos trabalhando com séries de Fourier de funções pares e vamos precisar avaliar a expansão em um ponto conveniente.
Passo 2
No Exemplo 1 da Seção 10.2, a função triangular pode ser tomada como
em
estendida periodicamente. Como
é par, sua série de Fourier só tem termo constante e termos em cosseno, e resulta em:
Passo 3
Para extrair a soma dos inversos dos quadrados dos ímpares, avaliamos essa série em
. Como
e
, temos:
Passo 4
Bastando isolar a soma, multiplicamos ambos os lados por
e obtemos
Como somar de
a
em
é o mesmo que somar de
a
em
, concluímos o resultado desejado.