A partir da série de Fourier da onda triangular (Exemplo 1 da Seção 10.2), mostre que
pi^28=1+13^2+15^2+cdots=sumn=0^infty 1(2 n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a série de Fourier da onda triangular para mostrar que pi^28=sumn=0^infty1(2n+1)^2. Estamos trabalhando com séries de Fourier de funções pares e vamos precisar avaliar a expansão em um ponto conveniente.

Passo 2

No Exemplo 1 da Seção 10.2, a função triangular pode ser tomada como f(x)=|x| em [-pi,pi] estendida periodicamente. Como f(x) é par, sua série de Fourier só tem termo constante e termos em cosseno, e resulta em:
|x|=pi2-4pisumn=1^inftycosl((2n-1)xr)(2n-1)^2

Passo 3

Para extrair a soma dos inversos dos quadrados dos ímpares, avaliamos essa série em x=0. Como |0|=0 e cos((2n-1)cdot0)=1, temos:
0=pi2-4pisumn=1^infty1(2n-1)^2

Passo 4

Bastando isolar a soma, multiplicamos ambos os lados por pi/4 e obtemos
sumn=1^infty1(2n-1)^2=pi^28
Como somar de n=1 a infty em 2n-1 é o mesmo que somar de n=0 a infty em 2n+1, concluímos o resultado desejado.

Resposta

pi^28=1+13^2+15^2+cdots=sumn=0^infty1(2n+1)^2.

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