Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
y^{\prime \prime}+16 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

Tranquilo, o enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' + 16\,y = 0
com as condições iniciais
y(0) = 2, \quad y'(0) = -2.
Isso é uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos montar a equação característica.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 + 16 = 0.
Resolvendo, obtemos as raízes
r = \pm 4\,i.

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas 0\pm4i, a solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\cos(4x) + C_{2}\sin(4x).

Passo 4

Para achar C_{1} e C_{2}, calculamos a derivada:
y'(x) = -4\,C_{1}\sin(4x) + 4\,C_{2}\cos(4x).
Em x=0 temos
y(0) = C_{1} = 2, \quad y'(0) = 4\,C_{2} = -2 \;\Longrightarrow\; C_{2} = -\tfrac12.

Resposta

y(x) = 2\cos(4x) \;-\;\tfrac{1}{2}\sin(4x).

Exercícios relacionados