Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
y^{\prime \prime}+16 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)=-2

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' + 16\,y = 0
e as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=-2. O método é: montar a equação característica, achar as raízes, escrever a solução geral e usar as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

A equação característica é
r^2 + 16 = 0
cuja solução são raízes complexas
r = \pm 4\,i.

Passo 3

Como as raízes são \pm 4\,i, a solução geral é
y(x) = A\cos(4x) + B\sin(4x).
Derivando, obtemos
y'(x) = -4A\sin(4x) + 4B\cos(4x).

Passo 4

Aplicando y(0)=2 na solução geral:
y(0) = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A = 2.
Em seguida, usando y'(0)=-2:
y'(0) = -4A\cdot 0 + 4B\cdot 1 = 4B = -2 \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Substituindo A=2 e B=-\tfrac12 na solução geral, fica
y(x) = 2\cos(4x) - \frac{1}{2}\sin(4x).

Resposta

y(x) = 2\cos(4x) - \frac{1}{2}\sin(4x).

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