Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
4 y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-3 y=0, y(0)=1, y^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4\,y'' - 4\,y' - 3\,y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=5. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelos dados iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico substituindo y\mapsto e^{r x}. Isso dá
4\,r^2 - 4\,r - 3 = 0.

Passo 3

Resolvendo a equação
4\,r^2 - 4\,r - 3 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot4\cdot(-3)}}{2\cdot4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{8} = \frac{4 \pm 8}{8}.
Logo as raízes são
r_1 = \frac{12}{8} = \tfrac32, \quad r_2 = \frac{-4}{8} = -\tfrac12.

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C_1\,e^{\frac32 x} + C_2\,e^{-\frac12 x}.

Passo 5

Calculamos a derivada para usar as condições iniciais:
y'(x) = \tfrac32\,C_1\,e^{\frac32 x} - \tfrac12\,C_2\,e^{-\frac12 x}.

Passo 6

Impondo y(0)=1 e y'(0)=5 obtemos o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\ \tfrac32\,C_1 - \tfrac12\,C_2 = 5. \end{cases}

Passo 7

Da primeira equação C_2 = 1 - C_1. Substituindo na segunda:
\tfrac32\,C_1 - \tfrac12\,(1 - C_1) = 5 \;\Longrightarrow\; 2\,C_1 - \tfrac12 = 5 \;\Longrightarrow\; 2\,C_1 = \tfrac{11}{2} \;\Longrightarrow\; C_1 = \tfrac{11}{4},
e então
C_2 = 1 - \tfrac{11}{4} = -\tfrac{7}{4}.

Passo 8

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é
y(x) = \frac{11}{4}\,e^{\frac32 x} \;-\;\frac{7}{4}\,e^{-\frac12 x}.

Resposta

y(x) = \frac{11}{4}\,e^{\frac32 x} - \frac{7}{4}\,e^{-\frac12 x}.

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