Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
e
. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral e depois ajustar as constantes pelos dados iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico substituindo
. Isso dá
Passo 3
Resolvendo a equação
usamos a fórmula de Bhaskara:
Logo as raízes são
Passo 4
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
Passo 5
Calculamos a derivada para usar as condições iniciais:
Passo 6
Impondo
e
obtemos o sistema
Passo 7
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
e então
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é