Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x^{2} y^{\prime}=y-x y, \quad y(-1)=-1.

Passo 1

Temos a equação diferencial
x^{2}\,y' = y - x\,y
com condição inicial y(-1)=-1.
O conteúdo aqui é equação de 1.º ordem separável: podemos escrever y' em função de x e y, separar variáveis e integrar ambos os lados.

Passo 2

Reescrevendo y' isolado, dividimos ambos os lados por x^{2} (em x\neq0):
y' = \frac{y - x\,y}{x^{2}} = y\,\frac{1 - x}{x^{2}}.
Logo a equação fica
\frac{dy}{dx} = y\,\frac{1 - x}{x^{2}}.

Passo 3

Separamos as variáveis y e x:
\frac{1}{y}\,dy = \frac{1 - x}{x^{2}}\,dx = \Bigl(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
Agora integramos dos dois lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \Bigl(\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculando cada integral:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln\lvert y\rvert + C_{1},
\int \frac{1}{x^{2}}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C_{2}, \quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C_{3}.
Logo
\ln\lvert y\rvert = -\frac{1}{x} - \ln\lvert x\rvert + C,
onde C = C_{1}-C_{2}+C_{3}. Exponenciando:
\lvert y\rvert = e^{C}\,\exp\!\Bigl(-\tfrac{1}{x}\Bigr)\,\exp\!\bigl(-\ln\lvert x\rvert\bigr) = C_{*}\,\frac{e^{-1/x}}{\lvert x\rvert},
e incorporando o sinal em C_{*}, obtemos a solução geral
y(x) = C\,\frac{e^{-1/x}}{x},\quad x\neq0.

Passo 5

Usamos a condição y(-1)=-1:
y(-1) = C\,\frac{e^{-1/(-1)}}{-1} = C\,\frac{e^{1}}{-1} = -C\,e \overset{!}{=} -1 \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{1}{e}.
Substituindo em y(x):
y(x) = \frac{1}{e}\,\frac{e^{-1/x}}{x} = \frac{e^{-1/x}}{e\,x} = \frac{e^{-\bigl(1 + \tfrac{1}{x}\bigr)}}{x}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{e}\,\frac{e^{-1/x}}{x},\quad x<0.}

Exercícios relacionados