Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x^{2} y^{\prime}=y-x y, \quad y(-1)=-1.
x^{2} y^{\prime}=y-x y, \quad y(-1)=-1.
Passo 1
Temos a equação diferencial
com condição inicial
.
O conteúdo aqui é equação de 1.º ordem separável: podemos escrever em função de
e
, separar variáveis e integrar ambos os lados.
O conteúdo aqui é equação de 1.º ordem separável: podemos escrever
Passo 2
Reescrevendo
isolado, dividimos ambos os lados por
(em
):
Logo a equação fica
Passo 3
Separamos as variáveis
e
:
Agora integramos dos dois lados:
Passo 4
Calculando cada integral:
Logo
onde
. Exponenciando:
e incorporando o sinal em
, obtemos a solução geral
Passo 5
Usamos a condição
:
Substituindo em
: