Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com a condição inicial
.
Este é um caso de equação de Bernoulli de ordem . Vamos usar a técnica de Bernoulli para reduzir a um problema linear.
Este é um caso de equação de Bernoulli de ordem
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão dividindo por
(assumindo
):
Passo 3
Para uma equação de Bernoulli
fazemos a substituição
Aqui
,
e
, então definimos
Passo 4
Calculamos
. Como
,
Isolando
na equação original padronizada e dividindo por
, obtemos
Substituindo
e
, a equação vira
Multiplicando por
:
Passo 5
Esta é uma equação linear em
. O fator integrante é
Multiplicando toda a equação por
obtemos
que é
Passo 6
Integramos em relação a
:
onde
é constante de integração. Então
Passo 7
Voltando à variável
, lembrando
:
Passo 8
Impondo a condição inicial
:
Passo 9
Substituindo
na solução geral: