Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
x \frac{d y}{d y}-x=2 y^{2}, \quad y(1)=5

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\frac{dy}{dx}-y=2y^{2},
com a condição inicial y(1)=5.
Este é um caso de equação de Bernoulli de ordem n=2. Vamos usar a técnica de Bernoulli para reduzir a um problema linear.

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão dividindo por x (assumindo x\neq0):
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}\,y=\frac{2}{x}\,y^{2}.

Passo 3

Para uma equação de Bernoulli
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
fazemos a substituição
z=y^{1-n}=y^{-1}.
Aqui P(x)=-\tfrac1x, Q(x)=\tfrac2x e n=2, então definimos
z=\frac{1}{y}.

Passo 4

Calculamos \tfrac{dz}{dx}. Como z=y^{-1},
\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Isolando \tfrac{dy}{dx} na equação original padronizada e dividindo por y^{2}, obtemos
\frac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}=\frac{2}{x}.
Substituindo \tfrac{dy}{dx}\cdot\frac{1}{y^{2}}=-\tfrac{dz}{dx} e \tfrac{1}{y}=z, a equação vira
-\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}\,z=\frac{2}{x}.
Multiplicando por -1:
\frac{dz}{dx}+\frac{1}{x}\,z=-\frac{2}{x}.

Passo 5

Esta é uma equação linear em z. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x}dx\Bigr)=x.
Multiplicando toda a equação por x obtemos
x\frac{dz}{dx}+z=-2,
que é
\frac{d}{dx}\bigl(xz\bigr)=-2.

Passo 6

Integramos em relação a x:
x\,z=-2x+C,
onde C é constante de integração. Então
z=-2+\frac{C}{x}.

Passo 7

Voltando à variável y, lembrando z=1/y:
\frac{1}{y}=-2+\frac{C}{x} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{-2+\tfrac{C}{x}} =\frac{x}{\,C-2x\,}.

Passo 8

Impondo a condição inicial y(1)=5:
5=\frac{1}{-2+\tfrac{C}{1}} \quad\Longrightarrow\quad -2+C=\frac{1}{5} \quad\Longrightarrow\quad C=\frac{1}{5}+2=\frac{11}{5}.

Passo 9

Substituindo C=\tfrac{11}{5} na solução geral:
y(x)=\frac{x}{\tfrac{11}{5}-2x} =\frac{5x}{\,11-10x\,}.

Resposta

y(x)=\frac{5x}{11-10x}.

Exercícios relacionados