Em cada item, calcule f^{\prime}\left(x_{0}\right) e f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right), sabendo que y=f(x) é a solução do PVI.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=e^{x^{2}} y^{2} \\\ y(0)=2\end{array}, x_{0}=0\right.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule f'(x_{0})\) e \(f''(x_{0})\) para a solução do problema de valor inicial \[\begin{cases} y' = e^{x^{2}}\,y^{2},\\\ y(0)=2, \end{cases}
no ponto x_{0}=0\]. Vamos usar a própria equação diferencial para obter \(y' em 0 e depois derivar novamente para achar y''.

Passo 2

Para encontrar f'(0) basta avaliar a equação diferencial em x=0 e y(0)=2. Assim,
f'(0)=y'(0)=e^{0^{2}}\,(2)^{2}=1\cdot4=4.

Passo 3

Agora derivamos a expressão y' = e^{x^{2}}\,y^{2} em relação a x. Usando a regra do produto e da cadeia,
y''=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{2}}\,y^{2}\bigr) =2x\,e^{x^{2}}\,y^{2} +e^{x^{2}}\cdot2y\,y'.
Em x=0 temos y(0)=2 e y'(0)=4, logo
f''(0)=y''(0) =2\cdot0\cdot1\cdot(2)^{2} +2\cdot1\cdot2\cdot4 =0+16 =16.

Resposta

\,f'(0)=4
\,f''(0)=16

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