Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
\ddot{x}+x=\cos t-\operatorname{sen} t, x(\pi / 2)=\dot{x}(\pi / 2)=0

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Equação diferencial: \ddot{x}+x=\cos t-\operatorname{sen} t.
  • Condições iniciais (no instante t_{0}=\pi/2): x(\pi/2)=0 e \dot{x}(\pi/2)=0.
  • Pedido: encontrar a solução x(t) que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
  • O lado direito da equação é \cos t - \operatorname{sen} t.
  • As condições iniciais estão dadas em t=\pi/2.

Passo 2

Forma geral da solução: para uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea com uma solução particular. Ou seja,
x(t)=x_h(t)+x_p(t),
onde x_h resolve a homogênea \ddot{x}+x=0 e x_p é qualquer solução particular da equação completa.
Vou primeiro encontrar x_h(t).

Passo 3

Resolver a homogênea \ddot{x}+x=0. A equação característica é
r^{2}+1=0,
cuja solução é r=\pm i. Isso corresponde às funções trigonométricas. Portanto a solução geral da homogênea é
x_h(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A e B são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais mais adiante.
Explicação curta: raízes imaginárias \pm i geram combinações lineares de \cos t e \sin t, por isso usamos A\cos t + B\sin t.

Passo 4

Escolher um ansatz para a solução particular x_p. O termo forçante é \cos t - \sin t. Note que \cos t e \sin t aparecem já na solução homogênea: isso indica ressonância. Em caso de ressonância, ao procurar uma solução particular por coeficientes indeterminados para termos \cos t e \sin t, multiplicamos por t. Assim escolhemos
x_p(t)=t\bigl(C\cos t + D\sin t\bigr),
onde C e D são constantes a determinar.
Explicação do porquê: se o forçante tem a mesma forma que soluções da homogênea, a tentativa usual C\cos t + D\sin t falharia (produziria termos que colidem com homogênea). Multiplicando por t obtemos uma família linearmente independente.

Passo 5

Calcular as derivadas de x_p de forma organizada. Defina
u(t)=C\cos t + D\sin t.
Então x_p(t)=t\,u(t). Derivando:
u'(t)=-C\sin t + D\cos t, \qquad u''(t)=-C\cos t - D\sin t=-u(t).
Aplicando produto na derivada:
x_p'(t)=u(t)+t\,u'(t),
x_p''(t)=2u'(t)+t\,u''(t)=2u'(t)-t\,u(t).
Agora somamos x_p''+x_p:
x_p''(t)+x_p(t)=\bigl(2u'(t)-t u(t)\bigr)+t u(t)=2u'(t).
Portanto a esquerda da equação reduz-se a 2u'(t).

Passo 6

Igualar ao lado direito e resolver para C,D\). Temos \[x_p''+x_p=2u'(t)=2\bigl(-C\sin t + D\cos t\bigr).
Isso deve ser igual ao forçamento \cos t - \sin t. Igualando coeficientes de \cos t e \sin t:
\begin{cases} 2D = 1 &\text{(coeficiente de \(\cos t)},\[4pt] -2C = -1 &(coeficiente de \sin t). \end{cases}]
Logo
D=\tfrac{1}{2},\qquad C=\tfrac{1}{2}.]

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada. Substituindo C=D=\tfrac{1}{2} em x_p,
x_p(t)=t\left(\tfrac{1}{2}\cos t + \tfrac{1}{2}\sin t\right)=\tfrac{t}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).
Assim a solução geral é
x(t)=A\cos t + B\sin t + \tfrac{t}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).

Passo 8

Aplicar as condições iniciais para determinar A e B. Primeiro usar x(\pi/2)=0.
Avalie x(\pi/2). Como \cos(\pi/2)=0 e \sin(\pi/2)=1, tem-se
x(\tfrac{\pi}{2})=A\cdot0 + B\cdot1 + \tfrac{\pi}{4}\bigl(0+1\bigr)=B+\tfrac{\pi}{4}.
A condição x(\pi/2)=0
B+\tfrac{\pi}{4}=0\quad\Rightarrow\quad B=-\tfrac{\pi}{4}.

Passo 9

Agora usar \dot{x}(\pi/2)=0. Primeiro calcule \dot{x}(t). Derivando a forma geral:
\dot{x}(t)=-A\sin t + B\cos t + \frac{1}{2}(\cos t + \sin t) + \frac{t}{2}(\cos t - \sin t).
(Explicação breve: derivada de \tfrac{t}{2}(\cos+\sin) é \tfrac{1}{2}(\cos+\sin)+\tfrac{t}{2}(-\sin+\cos), aqui reorganizado.)
Avalie em t=\pi/2 usando \cos(\pi/2)=0,\\ \sin(\pi/2)=1:
\dot{x}(\tfrac{\pi}{2})=-A\cdot1 + B\cdot0 + \tfrac{1}{2}(0+1) + \tfrac{\pi}{4}(0-1)=-A + \tfrac{1}{2} - \tfrac{\pi}{4}.
Impondo \dot{x}(\pi/2)=0 obtemos
-A + \tfrac{1}{2} - \tfrac{\pi}{4}=0\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi}{4}.

Passo 10

Substituir A e B na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as duas condições iniciais. Assim
x(t)=\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi}{4}\right)\cos t - \tfrac{\pi}{4}\sin t + \tfrac{t}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr).
Se preferir, pode reorganizar coletando \cos t e \sin t:
x(t)=\cos t\!\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{t}{2}\right)+\sin t\!\left(-\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{t}{2}\right).

Resposta

x(t)=\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{\pi}{4}\right)\cos t - \tfrac{\pi}{4}\sin t + \tfrac{t}{2}\bigl(\cos t + \sin t\bigr)

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