Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais (no instante
): e . - Pedido: encontrar a solução
que satisfaz a equação e as condições iniciais.
Informações relevantes que vamos usar (retiradas do enunciado):
- O lado direito da equação é
. - As condições iniciais estão dadas em
.
Passo 2
Forma geral da solução: para uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea com uma solução particular. Ou seja,
onde
resolve a homogênea
e
é qualquer solução particular da equação completa.
Vou primeiro encontrar
.
Passo 3
Resolver a homogênea
. A equação característica é
cuja solução é
. Isso corresponde às funções trigonométricas. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes reais que serão determinadas pelas condições iniciais mais adiante.
Explicação curta: raízes imaginárias
geram combinações lineares de
e
, por isso usamos
.
Passo 4
Escolher um ansatz para a solução particular
. O termo forçante é
. Note que
e
aparecem já na solução homogênea: isso indica ressonância. Em caso de ressonância, ao procurar uma solução particular por coeficientes indeterminados para termos
e
, multiplicamos por
. Assim escolhemos
onde
e
são constantes a determinar.
Explicação do porquê: se o forçante tem a mesma forma que soluções da homogênea, a tentativa usual
falharia (produziria termos que colidem com homogênea). Multiplicando por
obtemos uma família linearmente independente.
Passo 5
Calcular as derivadas de
de forma organizada. Defina
Então
. Derivando:
Aplicando produto na derivada:
Agora somamos
:
Portanto a esquerda da equação reduz-se a
.
Passo 6
Igualar ao lado direito e resolver para
Isso deve ser igual ao forçamento
. Igualando coeficientes de
e
:
)},\[4pt] -2C = -1 &(coeficiente de
). \end{cases}]
Logo
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada. Substituindo
em
,
Assim a solução geral é
Passo 8
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro usar
.
Avalie . Como
e
, tem-se
Avalie
A condição
dá
Passo 9
Agora usar
. Primeiro calcule
. Derivando a forma geral:
(Explicação breve: derivada de
é
, aqui reorganizado.)
Avalie em
usando
:
Impondo
obtemos
Passo 10
Substituir
e
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz as duas condições iniciais. Assim
Se preferir, pode reorganizar coletando
e
: