Use uma identidade trigonométrica como auxilio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para, usando uma identidade trigonométrica como auxílio, encontrar uma solução particular.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O lado esquerdo é o operador linear
aplicado a , ou seja . - O termo forçante (lado direito) é
. - Objetivo: obter uma função
que satisfaça a equação (uma solução particular).
Passo 2
Aplicar uma identidade trigonométrica para simplificar o termo do lado direito. A identidade útil é
Usando
temos
Portanto a EDO fica mais simples:
Passo 3
Antes de procurar a solução particular, é bom conhecer a solução da homogênea associada. A homogênea é
Explicando o método: escreve-se a equação característica
. As raízes são
. Isso significa que as soluções básicas são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolha do ansatz (método dos coeficientes indeterminados): o termo de forçamento é
, uma combinação de funções seno/cosseno com frequência
. Para funções forçantes do tipo
ou
, tenta-se uma solução particular da forma
onde
são constantes a determinar. Aqui
, então proponho
Observação importante (ressonância): se
fosse igual a
(a frequência da solução homogênea), haveria ressonância e o ansatz precisaria ser multiplicado por
. Como
, não há ressonância e o ansatz acima é adequado.
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas:
Agora avaliar
:
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Assim igualamos coeficientes de
e
:
Resolvendo:
Passo 6
Concluímos que uma solução particular é
Pequeno incentivo: pronto — achamos a solução particular de forma direta usando a identidade trigonométrica e coeficientes indeterminados. Se precisar, dá para montar a solução geral somando
com
, mas o pedido era a solução particular.