Use uma identidade trigonométrica como auxilio para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada.
\ddot{x}+x=\operatorname{sen} t \cos t.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\ddot{x}+x=\operatorname{sen} t\cos t
e pede para, usando uma identidade trigonométrica como auxílio, encontrar uma solução particular.
Informações relevantes fornecidas:
  • O lado esquerdo é o operador linear D^2+1 aplicado a x(t), ou seja \ddot{x}+x.
  • O termo forçante (lado direito) é \operatorname{sen} t\cos t.
  • Objetivo: obter uma função x_p(t) que satisfaça a equação (uma solução particular).

Passo 2

Aplicar uma identidade trigonométrica para simplificar o termo do lado direito. A identidade útil é
\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{1}{2}\sin(2\alpha).
Usando \alpha=t temos
\operatorname{sen} t\cos t=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
Portanto a EDO fica mais simples:
\ddot{x}+x=\tfrac{1}{2}\sin(2t).

Passo 3

Antes de procurar a solução particular, é bom conhecer a solução da homogênea associada. A homogênea é
\ddot{x}+x=0.
Explicando o método: escreve-se a equação característica r^2+1=0. As raízes são r=\pm i. Isso significa que as soluções básicas são \cos t e \sin t. Logo a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolha do ansatz (método dos coeficientes indeterminados): o termo de forçamento é \tfrac{1}{2}\sin(2t), uma combinação de funções seno/cosseno com frequência 2. Para funções forçantes do tipo \sin(\omega t) ou \cos(\omega t), tenta-se uma solução particular da forma
x_p(t)=a\cos( \omega t)+b\sin(\omega t),
onde a,b são constantes a determinar. Aqui \omega=2, então proponho
x_p(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t).
Observação importante (ressonância): se \omega fosse igual a 1 (a frequência da solução homogênea), haveria ressonância e o ansatz precisaria ser multiplicado por t. Como \omega=2\neq1, não há ressonância e o ansatz acima é adequado.

Passo 5

Calcular derivadas de x_p e substituir na equação para determinar a e b.
Derivadas:
\dot{x}_p(t)=-2a\sin(2t)+2b\cos(2t),
\ddot{x}_p(t)=-4a\cos(2t)-4b\sin(2t).
Agora avaliar \ddot{x}_p+x_p:
\ddot{x}_p+x_p = (-4a\cos(2t)-4b\sin(2t)) + (a\cos(2t)+b\sin(2t))
\qquad = (-4a+a)\cos(2t)+(-4b+b)\sin(2t)
\qquad = -3a\cos(2t)-3b\sin(2t).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito \tfrac{1}{2}\sin(2t). Assim igualamos coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
-3a = 0,\qquad -3b = \tfrac{1}{2}.
Resolvendo:
a=0,\qquad b=-\tfrac{1}{6}.

Passo 6

Concluímos que uma solução particular é
x_p(t)=a\cos(2t)+b\sin(2t)=0\cdot\cos(2t)-\tfrac{1}{6}\sin(2t)=-\tfrac{1}{6}\sin(2t).
Pequeno incentivo: pronto — achamos a solução particular de forma direta usando a identidade trigonométrica e coeficientes indeterminados. Se precisar, dá para montar a solução geral somando x_h com x_p, mas o pedido era a solução particular.

Resposta

x_p(t)=-\dfrac{1}{6}\sin(2t)

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