Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
5 \ddot{x}+\dot{x}=-6 t, x(0)=0, \dot{x}(0)=-10

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais fornecidas.
  • A equação diferencial é 5\ddot{x}+\dot{x}=-6t.
  • As condições iniciais são x(0)=0,\qquad \dot{x}(0)=-10.
  • Informação útil: trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante (lado direito) que é um polinômio em t.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
5\ddot{x}+\dot{x}=0.
Procuramos soluções da forma x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica:
5r^2+r=0.
Fatorando,
r(5r+1)=0,
logo as raízes são r=0 e r=-\dfrac{1}{5}. Cada raiz gera uma solução independente, então a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_1+C_2 e^{-t/5},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação rápida do porquê: r=0 significa uma solução constante ( e^{0\cdot t}=1) e r=-1/5 dá a exponencial decrescente e^{-t/5}. Essas duas soluções formam uma base do espaço de soluções da homogênea.

Passo 3

Encontrar uma solução particular x_p(t) da equação completa 5\ddot{x}+\dot{x}=-6t.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. O lado direito é um polinômio de grau 1 (isto é, -6t). Regra prática: se 0 é raiz da equação característica (aqui r=0 é raiz simples), devemos multiplicar a forma tentativa por t para evitar conflito com a solução homogênea. Portanto, em vez de tentar at+b, multiplicamos por t e tentamos
x_p(t)=a t^2 + b t.
Agora calculamos as derivadas:
\dot{x}_p(t)=2a t + b,
\ddot{x}_p(t)=2a.
Substituímos na equação diferencial:
5(2a) + (2a t + b) = -6t.
Organizando termos por potências de t:
2a\,t + (10a + b) = -6t + 0.
Comparando coeficientes de t e termo constante obtemos o sistema
2a = -6,
10a + b = 0.
Da primeira equação vem a=-3. Substituindo em 10a+b=0 obtemos b=30.
Portanto a solução particular é
x_p(t)=-3t^2+30t.
Breve comentário didático: escolhemos grau 2 porque o fator t (devido à raiz zero da homogênea) eleva o grau da tentativa; as derivadas simples tornam possível igualar os coeficientes ao polinômio do lado direito.

Passo 4

Formar a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1+C_2 e^{-t/5}-3t^2+30t.
Agora calculamos a derivada necessária para aplicar a condição inicial \dot{x}(0)=-10:
\dot{x}(t)= -\frac{C_2}{5} e^{-t/5} -6t + 30.
Explicando: a derivada de C_1 é zero, de C_2 e^{-t/5} é -\tfrac{C_2}{5}e^{-t/5}, de -3t^2 é -6t e de 30t é 30.

Passo 5

Aplicar as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Para t=0, da expressão de x(t):
x(0)=C_1+C_2-0+0=0 \quad\Rightarrow\quad C_1=-C_2.
Para t=0, da expressão de \dot{x}(t):
\dot{x}(0)=-\frac{C_2}{5}-0+30=-\frac{C_2}{5}+30.
Impor \dot{x}(0)=-10
-\frac{C_2}{5}+30=-10.
Isolando C_2:
-\frac{C_2}{5}=-40 \quad\Rightarrow\quad C_2=200.
Então C_1=-C_2=-200.

Passo 6

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
x(t)=-200+200 e^{-t/5}-3t^2+30t.
Podemos também escrever de forma mais compacta:
x(t)=200\bigl(e^{-t/5}-1\bigr)-3t^2+30t.

Resposta

x(t)=-200+200 e^{-t/5}-3t^2+30t

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