Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para resolver a equação diferencial com as condições iniciais fornecidas.
- A equação diferencial é
- As condições iniciais são
- Informação útil: trata-se de uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante (lado direito) que é um polinômio em
.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica:
Fatorando,
logo as raízes são
e
. Cada raiz gera uma solução independente, então a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação rápida do porquê:
significa uma solução constante (
) e
dá a exponencial decrescente
. Essas duas soluções formam uma base do espaço de soluções da homogênea.
Passo 3
Encontrar uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados. O lado direito é um polinômio de grau
(isto é,
). Regra prática: se
é raiz da equação característica (aqui
é raiz simples), devemos multiplicar a forma tentativa por
para evitar conflito com a solução homogênea. Portanto, em vez de tentar
, multiplicamos por
e tentamos
Agora calculamos as derivadas:
Substituímos na equação diferencial:
Organizando termos por potências de
:
Comparando coeficientes de
e termo constante obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo em
obtemos
.
Portanto a solução particular é
Breve comentário didático: escolhemos grau 2 porque o fator
(devido à raiz zero da homogênea) eleva o grau da tentativa; as derivadas simples tornam possível igualar os coeficientes ao polinômio do lado direito.
Passo 4
Formar a solução geral da equação completa somando homogênea e particular:
Agora calculamos a derivada necessária para aplicar a condição inicial
:
Explicando: a derivada de
é zero, de
é
, de
é
e de
é
.
Passo 5
Aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Para
, da expressão de
:
Para
, da expressão de
:
Impor
dá
Isolando
:
Então
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Podemos também escrever de forma mais compacta: