Resolva o PVI abaixo usando Transformadas de Laplace:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=0 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=1.
f(t)=L^-1F(s) F(s)=Lf(t)
e^a t 1s-a, s>a
e^a t sin b t b(s-a)^2+b^2, s>a
e^a t cos b t s-a(s-a)^2+b^2, s>a
t^n e^a t, n inteiro positivo n!(s-a)^n+1, s>a
Table 1: Transformadas de Laplace para o exercício 2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI y''-4y'+4y=0 com condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1 usando transformadas de Laplace. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com condições iniciais via L e L^-1, e vamos precisar das fórmulas de transformada de derivadas e da tabela fornecida.

Passo 2

Pela teoria de transformada de Laplace temos as fórmulas para derivadas:
Ly'(t) = sY(s) - y(0)
Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0)
Agora aplicamos L em cada termo da equação diferencial e substituímos y(0)=1 e y'(0)=1:
Ly'' - 4,Ly' + 4,Ly = 0
Substituindo as fórmulas e condições iniciais:
(s^2Y(s) - scdot1 - 1) - 4l(sY(s) - 1r) + 4Y(s) = 0
Reunindo termos em Y(s):
(s^2 - 4s + 4)Y(s) - s - 1 + 4 = 0
(s-2)^2Y(s) - s + 3 = 0
Y(s) = s-3(s-2)^2

Passo 3

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em Y(s):
s-3(s-2)^2 = As-2 + B(s-2)^2
Multiplicando por (s-2)^2:
$$
s - 3 = A(s-2) + B
s - 3 = A(s-2) + B áé
Y(s) = \frac{1}{s-2} - \frac{1}{(s-2)^2}
$$

Passo 4

Usando a tabela inversa para cada termo:
L^-11/(s-2) = e^2t,
L^-11/(s-2)^2 = t,e^2t
Somando os resultados, chegamos a:
$$
y(t) = e^{2t} - t,e^{2t} = (1 - t)e^{2t}.$$

Resposta

y(t) = (1 - t)e^2t

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