Resolva o PVI abaixo usando Transformadas de Laplace:
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Table 1: Transformadas de Laplace para o exercício 2.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o PVI
com condições iniciais
e
usando transformadas de Laplace. O conteúdo aqui é equações diferenciais lineares com condições iniciais via
e
, e vamos precisar das fórmulas de transformada de derivadas e da tabela fornecida.
Passo 2
Pela teoria de transformada de Laplace temos as fórmulas para derivadas:
Agora aplicamos
Substituindo as fórmulas e condições iniciais:
Reunindo termos em
:
Passo 3
Para inverter a transformada, fazemos frações parciais em
:
Multiplicando por
$$
s - 3 = A(s-2) + B
Y(s) = \frac{1}{s-2} - \frac{1}{(s-2)^2}
$$
Passo 4
Usando a tabela inversa para cada termo:
Somando os resultados, chegamos a:
$$
y(t) = e^{2t} - t,e^{2t} = (1 - t)e^{2t}.$$