Encontre o valor de k para que a equação diferencial dada seja exata.
\left(2 x y^{2}+y e^{x}\right) d x+\left(2 x y^{2}+k e^{x}-1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
(2xy^{2} + y e^{x})\,dx \;+\;(2xy^{2} + k e^{x} - 1)\,dy = 0
e pede o valor de k que torne essa equação exata. Lembrando que uma equação M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2xy^{2} + y e^{x},
então
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2} + y e^{x}\bigr) = 4xy + e^{x}.

Passo 3

E também
N(x,y) = 2xy^{2} + k e^{x} - 1,
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\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy^{2} + k e^{x} - 1\bigr) = 2y^{2} + k\,e^{x}.

Passo 4

Para exatidão precisamos
4xy + e^{x} \;=\; 2y^{2} + k\,e^{x}
para todo (x,y). Isso equivale a
4xy - 2y^{2} \;+\;(1 - k)\,e^{x} \;=\;0
como função de x e y. Mas não há escolha de k que elimine simultaneamente o termo em xy e o termo em y^{2} para todo x,y.

Passo 5

Concluímos que não existe nenhum valor de k que faça \partial M/\partial y = \partial N/\partial x em todo o domínio.

Resposta

Não existe valor de k que torne a equação diferencial exata.

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