Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
6 x y d x+\left(4 y+9 x^{2}\right) d y=0.

Passo 1

Temos a equação diferencial
6x\,y\,dx + \bigl(4y + 9x^{2}\bigr)\,dy = 0.
Este é um problema de equações diferenciais exatas: para resolver, primeiro verificamos se é exata e, se não for, buscamos um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Chamemos
M(x,y) = 6x\,y, \quad N(x,y) = 4y + 9x^{2}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} = 6x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 18x.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante que dependa só de y. A condição é
\frac{\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} \quad\text{seja função apenas de }y.çã
Substituindo,
\frac{18x - 6x}{6x\,y} = \frac{12x}{6x\,y} = \frac{2}{y},
que depende só de y. Logo um fator integrante é
\mu(y) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{2}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|y|\bigr) = y^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^{2}, obtendo
6x\,y^{3}\,dx + \bigl(4y^{3} + 9x^{2}y^{2}\bigr)\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M(x,y) = 6x\,y^{3}, \quad \widetilde N(x,y) = 4y^{3} + 9x^{2}y^{2}
e verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 18x\,y^{2}, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 18x\,y^{2},
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = \widetilde M = 6x\,y^{3}, \quad \frac{\partial \Psi}{\partial y} = \widetilde N = 4y^{3} + 9x^{2}y^{2}.
Integrando \widetilde M em relação a x,
\Psi(x,y) = \int 6x\,y^{3}\,dx = 3x^{2}y^{3} + h(y).
Diferenciando em y e igualando a \widetilde N,
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = 9x^{2}y^{2} + h'(y) \stackrel!= 4y^{3} + 9x^{2}y^{2},
de onde h'(y)=4y^{3} e
h(y)=y^{4}.
Portanto
\Psi(x,y) = 3x^{2}y^{3} + y^{4}.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
3x^{2}y^{3} + y^{4} = C,
com C constante de integração.

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