Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
.
Passo 1
Temos a equação diferencial
Este é um problema de equações diferenciais exatas: para resolver, primeiro verificamos se é exata e, se não for, buscamos um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Chamemos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante que dependa só de
. A condição é
Substituindo,
que depende só de
. Logo um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora definimos
e verificamos
logo a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função
tal que
Integrando
em relação a
,
Diferenciando em
e igualando a
,
de onde
e
Portanto
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
com
constante de integração.