Se A(x)=x^{2}-1, B(x)=1-x^{2}, C(x)=x+1:
Determine o Domínio e o conjunto imagem da função:
f(x)=\sqrt{A(x)}+\sqrt{B(x)}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=\sqrt{A(x)}+\sqrt{B(x)},
com
A(x)=x^2-1, \quad B(x)=1-x^2,
e pede o domínio de f (onde os radicais existem em \mathbb{R}) e o conjunto imagem de f.

Passo 2

Para que \sqrt{A(x)} e \sqrt{B(x)} façam sentido em números reais, precisamos ter simultaneamente
A(x)\ge0
e
B(x)\ge0.

Passo 3

Resolvendo cada desigualdade:
- x^2-1\ge0 implica |x|\ge1, ou seja x\le-1 ou x\ge1.
- 1-x^2\ge0 implica |x|\le1, ou seja -1\le x\le1.

Passo 4

A interseção de \{\,|x|\ge1\} com \{\,|x|\le1\} é exatamente \{x:|x|=1\}. Logo
\dom f = \{-1,\,1\}.

Passo 5

Em cada x do domínio temos x^2-1=0 e 1-x^2=0, então
f(\pm1)=\sqrt{0}+\sqrt{0}=0.

Passo 6

Como f só assume o valor 0 nos pontos do domínio, o conjunto imagem é
\Im f=\{0\}.

Resposta

\dom f = \{-1,1\} \Im f = \{0\}

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