Se A(x)=x^{2}-1, B(x)=1-x^{2}, C(x)=x+1:
Construir o gráfico da função q(x)=\frac{|A(x)|}{|C(x)|}

Passo 1

O enunciado define
A(x)=x^{2}-1,
B(x)=1-x^{2} e
C(x)=x+1,
e pede o gráfico de
q(x)=\frac{\lvert A(x)\rvert}{\lvert C(x)\rvert}\,.
Aqui vamos usar propriedades de valor absoluto e fatoração para simplificar a expressão, estudar o domínio e depois esboçar o gráfico resultante.

Passo 2

Primeiro, fatoramos A(x) e escrevemos
q(x)=\frac{\lvert x^{2}-1\rvert}{\lvert x+1\rvert} =\frac{\lvert (x-1)(x+1)\rvert}{\lvert x+1\rvert} =\frac{\lvert x-1\rvert\;\lvert x+1\rvert}{\lvert x+1\rvert}\,.
Como \lvert x+1\rvert\neq0 quando x\neq -1, para x\neq -1 obtemos
q(x)=\lvert x-1\rvert.
O domínio de q é \mathbb{R}\setminus\{-1\}.

Passo 3

Agora escrevemos \lvert x-1\rvert\) em forma de função por partes: \[\lvert x-1\rvert= \begin{cases} 1-x, & x<1,\\\ x-1, & x\ge1. \end{cases}
Logo, para x\neq -1\] a função \[q é dada por
q(x)= \begin{cases} 1-x, & x<1,\\\ x-1, & x\ge1, \end{cases}
com a ressalva de que em (x=-1] a função não está definida.

Passo 4

Para montar o gráfico de q em cada intervalo:
  • Em (-\infty,1) traçamos a reta de inclinação -1 que em x=1 atinge q(1)=0.
  • Em [1,\infty) traçamos a reta de inclinação +1 que em x=1 atinge novamente q(1)=0.
    Em x=-1 teríamos \lvert -1-1\rvert=2, mas como q não está definida ali, colocamos um círculo aberto em (-1,2).

Passo 5

O gráfico é, portanto, o típico “V” de \lvert x-1\rvert, deslocado um passo para a direita, com vértice em (1,0), e com um ponto removido em (-1,2).

Resposta

O gráfico de q(x) é o de y=\lvert x-1\rvert em todo \mathbb{R} exceto em x=-1, onde existe um círculo aberto no ponto (-1,2).

Exercícios relacionados