Resolva a equação diferencial dadas.
Passo 1
O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária dada pela expressão
Informações fornecidas: a equação é de primeira ordem e linear, com derivada de
em relação à variável independente (que chamaremos de
), e o termo não-homogêneo do lado direito é
. A tarefa é encontrar a família geral de soluções
que satisfaça essa igualdade para todo
.
Passo 2
Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Comparando com
vemos que
Método escolhido e por quê: vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é um método geral e simples para equações lineares de primeira ordem. Ele funciona sempre que conseguimos escrever a equação na forma acima; a ideia é multiplicar a equação por uma função
que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto
, o que facilita integrar. Outra alternativa seria buscar uma solução particular por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) — mais adiante eu mostro essa verificação.
Passo 3
Definição do fator integrante:
.
Como , calculamos
Como
portanto
Breve explicação da lógica: multiplicando a equação original por
queremos que o lado esquerdo seja exatamente a derivada de
. Isso ocorre porque, pela regra do produto,
Se
então
, e é isso que o fator integrante garante.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Verificação de que o lado esquerdo é uma derivada de produto: usando a regra do produto,
pois
. Logo a equação fica simplesmente
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
. Precisamos calcular a integral à direita
Vamos calcular essa integral por partes. Lembre que a fórmula de integração por partes é
Escolhemos
(porque sua derivada é simples) e
. Então
Aplicando a fórmula:
Isso dá
onde
é a constante de integração. Portanto
Passo 6
Voltando à equação integrada, temos
onde
é a constante de integração. Multiplicando ambos os lados por
para isolar
,
Expandindo, uma forma equivalente é
Aqui
é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais da equação diferencial.
Passo 7
Verificação alternativa (método dos coeficientes indeterminados) — útil para aprender como encontrar uma solução particular rápida quando o lado direito é polinomial:
- A solução geral é soma da solução homogênea
- Para uma solução particular, como o termo não-homogêneo é
(um polinômio de grau ), tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau: , com constantes a determinar. - Calculamos
. Substituindo em ,
Reagrupando termos por potências de
:
Comparando coeficientes:
Logo
obtemos novamente
confirmando o resultado obtido com fator integrante.]
Passo 8
Interpretação final e dicas para prova: a solução geral é uma família de funções parametrizada por
. Se for dada uma condição inicial (por exemplo
), basta substituir nessa expressão para achar o valor de
. Em provas, para equações lineares de 1ª ordem, aprenda a reconhecer rapidamente
e
e a usar o fator integrante
— isso resolve a grande maioria dos casos de forma sistemática. Se o termo à direita for um polinômio, exponencial, seno ou cosseno simples, o método dos coeficientes indeterminados pode ser mais rápido para encontrar uma particular.