Resolva a equação diferencial dadas.
y^{\prime}-y=2 x

Passo 1

O que o enunciado pede: resolver a equação diferencial ordinária dada pela expressão
y' - y = 2x.
Informações fornecidas: a equação é de primeira ordem e linear, com derivada de y em relação à variável independente (que chamaremos de x), e o termo não-homogêneo do lado direito é 2x. A tarefa é encontrar a família geral de soluções y(x) que satisfaça essa igualdade para todo x.

Passo 2

Vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y' + p(x)\,y = q(x).
Comparando com \,y' - y = 2x\, vemos que
p(x) = -1,\qquad q(x)=2x.
Método escolhido e por quê: vou usar o método do fator integrante (integrating factor), que é um método geral e simples para equações lineares de primeira ordem. Ele funciona sempre que conseguimos escrever a equação na forma acima; a ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) que transforme o lado esquerdo em uma derivada de produto (\mu y)', o que facilita integrar. Outra alternativa seria buscar uma solução particular por coeficientes a determinar (método dos coeficientes indeterminados) — mais adiante eu mostro essa verificação.

Passo 3

Definição do fator integrante: \mu(x)=\exp\!\big(\int p(x)\,dx\big).
Como p(x)=-1, calculamos
\int p(x)\,dx=\int -1\,dx = -x,
portanto
\mu(x)=e^{-x}.
Breve explicação da lógica: multiplicando a equação original por \mu queremos que o lado esquerdo seja exatamente a derivada de \mu(x)\,y(x). Isso ocorre porque, pela regra do produto,
(\mu y)'=\mu y' + \mu' y.
Se \mu'=\mu p então \mu y' + \mu p y = (\mu y)', e é isso que o fator integrante garante.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = 2x e^{-x}.
Verificação de que o lado esquerdo é uma derivada de produto: usando a regra do produto,
\big(e^{-x}y\big)' = e^{-x}y' + (e^{-x})'y = e^{-x}y' - e^{-x}y,
pois (e^{-x})' = -e^{-x}. Logo a equação fica simplesmente
\big(e^{-x}y\big)' = 2x e^{-x}.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{-x}y\big)' \,dx = \int 2x e^{-x}\,dx.
O lado esquerdo simplifica para e^{-x}y. Precisamos calcular a integral à direita
\int 2x e^{-x}\,dx.
Vamos calcular essa integral por partes. Lembre que a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u=2x (porque sua derivada é simples) e dv=e^{-x}dx. Então
du=2\,dx,\qquad v=\int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Aplicando a fórmula:
\int 2x e^{-x}dx = (2x)(-e^{-x}) - \int (-e^{-x})(2)\,dx.
Isso dá
\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + 2\int e^{-x}dx = -2x e^{-x} + 2(-e^{-x}) + C,
onde C é a constante de integração. Portanto
\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C = -2e^{-x}(x+1) + C.

Passo 6

Voltando à equação integrada, temos
e^{-x}y = -2e^{-x}(x+1) + C,
onde C é a constante de integração. Multiplicando ambos os lados por e^{x} para isolar y,
y = -2(x+1) + C e^{x}.
Expandindo, uma forma equivalente é
y = C e^{x} - 2x - 2.
Aqui C é uma constante arbitrária real, que representa a família de soluções gerais da equação diferencial.

Passo 7

Verificação alternativa (método dos coeficientes indeterminados) — útil para aprender como encontrar uma solução particular rápida quando o lado direito é polinomial:
  • A solução geral é soma da solução homogênea y_h\) da equação associada e de uma solução particular \(y_p\). - A equação homogênea é \(y' - y = 0\). Resolvendo, \[\frac{y'}{y}=1 \Rightarrow \ln|y| = x + \text{const} \Rightarrow y_h = C e^{x}.
  • Para uma solução particular, como o termo não-homogêneo é 2x (um polinômio de grau 1), tentamos uma solução particular polinomial do mesmo grau: y_p = a x + b, com a,b constantes a determinar.
  • Calculamos y_p' = a. Substituindo em y' - y = 2x,
a - (a x + b) = 2x.
Reagrupando termos por potências de x:
(-a)\,x + (a-b) = 2x + 0.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} -a = 2 \Rightarrow a = -2,\\[4pt] a - b = 0 \Rightarrow b = a = -2. \end{cases}
Logo y_p = -2x -2\]. Somando com \(y_h obtemos novamente
y = C e^{x} - 2x - 2,
confirmando o resultado obtido com fator integrante.]

Passo 8

Interpretação final e dicas para prova: a solução geral é uma família de funções parametrizada por C. Se for dada uma condição inicial (por exemplo y(x_0)=y_0), basta substituir nessa expressão para achar o valor de C. Em provas, para equações lineares de 1ª ordem, aprenda a reconhecer rapidamente p(x) e q(x) e a usar o fator integrante e^{\int p} — isso resolve a grande maioria dos casos de forma sistemática. Se o termo à direita for um polinômio, exponencial, seno ou cosseno simples, o método dos coeficientes indeterminados pode ser mais rápido para encontrar uma particular.

Resposta

y = C e^{x} - 2x - 2.

Exercícios relacionados