Determinar a curva do plano
que passa por
e possue em cada ponto o coeficiente angular igual a
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a curva do plano
que passa por
e que possui, em cada ponto, coeficiente angular igual a
.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- A curva passa por
. - Em cada ponto o coeficiente angular (a inclinação da reta tangente) vale
.
Passo 2
Interpretando o que significa "coeficiente angular igual a
" — isto quer dizer que a derivada da função
em relação a
é
. Em linguagem matemática escrevemos a condição do enunciado como a equação diferencial
Explicação didática:
representa a derivada de
em relação a
, que é exatamente a inclinação da curva num ponto. O enunciado nos dá essa inclinação como função de
.
Passo 3
Resolver a equação diferencial
significa encontrar todas as funções
cuja derivada é
. Para isso usamos a operação inversa da derivada: a integração. Aplicamos a integral em ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (explico já o porquê da constante).
Passo 4
Calcular
usando a regra do integral de potência: para
,
Aqui
, logo
Portanto a solução geral (a família de curvas cujas tangentes têm inclinação
) é
Comentário didático: o
aparece porque derivadas “perdem” informação de termos constantes; qualquer constante adicionada a uma antiderivada também tem derivada zero, então todas essas funções têm a mesma derivada
.
Passo 5
Agora usamos a condição inicial (a curva passa por
) para determinar
. Substituímos
e
na solução geral:
Calculando,
Passo 6
Breve verificação: a solução particular obtida tem constante
. A derivada da função
é
ou seja, satisfaz a condição do enunciado para qualquer
. Com
também satisfaz a condição de passar por
.