(1,0) Determinar a curva do plano x y que passa por (1,1) e possue em cada ponto o coeficiente angular igual a x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a curva do plano xy que passa por (1,1) e que possui, em cada ponto, coeficiente angular igual a x^{3}.
Informações dadas que vamos usar:
  • A curva passa por (1,1).
  • Em cada ponto o coeficiente angular (a inclinação da reta tangente) vale x^{3}.

Passo 2

Interpretando o que significa "coeficiente angular igual a x^{3}" — isto quer dizer que a derivada da função y(x) em relação a x é x^{3}. Em linguagem matemática escrevemos a condição do enunciado como a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=x^{3}.
Explicação didática: \frac{dy}{dx} representa a derivada de y em relação a x, que é exatamente a inclinação da curva num ponto. O enunciado nos dá essa inclinação como função de x.

Passo 3

Resolver a equação diferencial \frac{dy}{dx}=x^{3} significa encontrar todas as funções y(x) cuja derivada é x^{3}. Para isso usamos a operação inversa da derivada: a integração. Aplicamos a integral em ambos os lados em relação a x:
y=\int x^{3}\,dx + C,
onde C é a constante de integração (explico já o porquê da constante).

Passo 4

Calcular \int x^{3}\,dx usando a regra do integral de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+ \text{constante}.
Aqui n=3, logo
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4}.
Portanto a solução geral (a família de curvas cujas tangentes têm inclinação x^{3}) é
y=\frac{x^{4}}{4}+C.
Comentário didático: o C aparece porque derivadas “perdem” informação de termos constantes; qualquer constante adicionada a uma antiderivada também tem derivada zero, então todas essas funções têm a mesma derivada x^{3}.

Passo 5

Agora usamos a condição inicial (a curva passa por (1,1)) para determinar C. Substituímos x=1 e y=1 na solução geral:
1=\frac{1^{4}}{4}+C.
Calculando,
1=\frac{1}{4}+C \quad\Rightarrow\quad C=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Breve verificação: a solução particular obtida tem constante C=\frac{3}{4}. A derivada da função y(x)=\frac{x^{4}}{4}+C é
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{4}}{4}+C\right)=\frac{4x^{3}}{4}+0=x^{3},
ou seja, satisfaz a condição do enunciado para qualquer C. Com C=\frac{3}{4} também satisfaz a condição de passar por (1,1).

Resposta

y=\dfrac{1}{4}x^{4}+\dfrac{3}{4}

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