(0,5) Verifique se x(t)=\frac{-2}{t^{2}-1},-1 \leq t \leq 1, é solução da equação \frac{d x}{d t}=t x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
x(t)=\frac{-2}{t^{2}-1},\quad -1\le t\le 1
é solução da equação diferencial
\frac{d x}{d t}=t x^{2}.
Informações dadas:
  • A função candidata é x(t)=\dfrac{-2}{t^{2}-1}.
  • A equação que deve ser satisfeita é \dfrac{dx}{dt}=t x^{2}.
  • O enunciado indica o intervalo -1\le t\le 1, mas observe que em t=\pm 1 o denominador t^{2}-1 é zero, então x(t) não está definida nesses pontos.

Passo 2

O que significa “verificar se x(t) é solução”? Significa duas coisas:
  1. x(t) deve estar definida e ser diferenciável no conjunto de pontos onde queremos verificar a equação.
  2. Para esses t, a igualdade \dfrac{dx}{dt}=t x^{2} deve ser verdadeira identicamente.
Como x(t) tem denominador t^{2}-1, ela só pode estar definida quando t^{2}-1\neq 0, ou seja, para t\neq \pm 1. Portanto só faz sentido verificar a equação para -1<t<1. Agora vamos calcular \dfrac{dx}{dt} explicitamente e comparar com t x^{2}.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{dt}. Reescrevo x(t) como potência para aplicar a regra da cadeia:
x(t)=-2\,(t^{2}-1)^{-1}.
Vou usar a regra da cadeia: se y(u)=u^{-1} então y'(u)=-u^{-2}; e se u(t)=t^{2}-1 então u'(t)=2t. Assim, derivando passo a passo:
\frac{d}{dt}\big((t^{2}-1)^{-1}\big) = -1\cdot (t^{2}-1)^{-2}\cdot \frac{d}{dt}(t^{2}-1) = - (t^{2}-1)^{-2}\cdot 2t = -2t (t^{2}-1)^{-2}.
Multiplicando pelo coeficiente -2 que estava em x(t), obtemos
\frac{dx}{dt} = -2 \cdot \big(-2t (t^{2}-1)^{-2}\big) = 4t (t^{2}-1)^{-2}.
Posso escrever isso de forma mais familiar como
\frac{dx}{dt} = \frac{4t}{(t^{2}-1)^{2}}.

Passo 4

Calcular t x^{2} e ver se coincide com \dfrac{dx}{dt}. Primeiro x^{2}:
x^{2}(t)=\left(\frac{-2}{t^{2}-1}\right)^{2}=\frac{(-2)^{2}}{(t^{2}-1)^{2}}=\frac{4}{(t^{2}-1)^{2}}.
Multiplicando por t,
t x^{2} = t\cdot \frac{4}{(t^{2}-1)^{2}} = \frac{4t}{(t^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Comparando as expressões obtidas:
\frac{dx}{dt}=\frac{4t}{(t^{2}-1)^{2}} \quad\text{e}\quad t x^{2}=\frac{4t}{(t^{2}-1)^{2}}.
Elas são idênticas para todo t tal que ambas as expressões estão definidas, isto é, para t\neq \pm 1. Como anteriormente notei, x(t) não está definida em t=\pm 1, então não podemos considerar esses pontos como parte do domínio da solução. Portanto a igualdade da equação diferencial vale para todo t em -1<t<1.

Passo 6

Conclusão e observação final: a função x(t)=\dfrac{-2}{t^{2}-1} satisfaz a equação \dfrac{dx}{dt}=t x^{2} para todo t com -1<t<1. Nos pontos t=\pm 1 a função não está definida (denominador zero), logo não são pontos onde a verificação faz sentido.

Resposta

Sim — x(t)=\dfrac{-2}{t^{2}-1} satisfaz \dfrac{dx}{dt}=t x^{2} para todo -1<t<1. Nos pontos t=\pm 1 a função não está definida.

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