Verifique se
, é solução da equação
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação diferencial
Informações dadas:
- A função candidata é
. - A equação que deve ser satisfeita é
. - O enunciado indica o intervalo
, mas observe que em o denominador é zero, então não está definida nesses pontos.
Passo 2
O que significa “verificar se
é solução”? Significa duas coisas:
-
deve estar definida e ser diferenciável no conjunto de pontos onde queremos verificar a equação. - Para esses
, a igualdade deve ser verdadeira identicamente.
Como
tem denominador
, ela só pode estar definida quando
, ou seja, para
. Portanto só faz sentido verificar a equação para
. Agora vamos calcular
explicitamente e comparar com
.
Passo 3
Calcular
. Reescrevo
como potência para aplicar a regra da cadeia:
Vou usar a regra da cadeia: se
então
; e se
então
. Assim, derivando passo a passo:
Multiplicando pelo coeficiente
que estava em
, obtemos
Posso escrever isso de forma mais familiar como
Passo 4
Calcular
e ver se coincide com
. Primeiro
:
Multiplicando por
,
Passo 5
Comparando as expressões obtidas:
Elas são idênticas para todo
tal que ambas as expressões estão definidas, isto é, para
. Como anteriormente notei,
não está definida em
, então não podemos considerar esses pontos como parte do domínio da solução. Portanto a igualdade da equação diferencial vale para todo
em
.
Passo 6
Conclusão e observação final: a função
satisfaz a equação
para todo
com
. Nos pontos
a função não está definida (denominador zero), logo não são pontos onde a verificação faz sentido.
Resposta
Sim —
satisfaz
para todo
. Nos pontos
a função não está definida.