Seja
. (1,0 ponto)
a) Determine o domínio da função
.
b) A função é contínua em
?
a) Determine o domínio da função
b) A função é contínua em
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
a) Determinar o domínio de .
b) Verificar se a função é contínua em .
Informações relevantes fornecidas: o numerador é e o denominador é
. Nada mais foi fornecido.
a) Determinar o domínio de
b) Verificar se a função é contínua em
Informações relevantes fornecidas: o numerador é
Passo 2
O que significa “domínio” aqui e como encontrá‑lo (aulas rápidas antes de calcular): o domínio de uma função dada por uma expressão algébrica é o conjunto de todos os valores de
para os quais a expressão está bem definida. Para frações, uma regra básica é que não podemos dividir por zero — ou seja, valores de
que anulam o denominador devem ser excluídos do domínio. Portanto vamos achar para quais
o denominador
é zero:
Como em
o denominador fica zero, esse ponto deve ser excluído. Concluímos que o domínio é todos os reais exceto
, isto é:
Passo 3
Agora é útil simplificar a expressão quando possível, para entender o comportamento da função fora do ponto problemático. Primeiro, fatoramos o numerador
usando a diferença de quadrados:
Substituindo na expressão original:
Aqui temos um produto
no numerador e o mesmo fator no denominador, então podemos cancelar esse fator — mas atenção importante (regra que sempre preciso lembrar na prova): só podemos cancelar quando o fator não é zero. Ou seja, a simplificação é válida apenas para
. Após cancelar, para
obtemos a função equivalente
Esse cálculo mostra que, exceto em
, a função se comporta exatamente como a reta
.
Passo 4
Agora vamos à continuidade em
. Primeiro lembro a definição prática de continuidade num ponto
: a função é contínua em
se (i)
pertence ao domínio da função, (ii) o limite
existe, e (iii) esse limite é igual ao valor
. Se qualquer uma dessas três condições falhar, a função não é contínua em
.
Aplicando isso a
:
- Verificação (i): já vimos no Passo 2 que
não pertence ao domínio, porque o denominador anula aí. Logo a condição (i) falha — isso por si só garante que a função não é contínua em . - Mesmo assim, é interessante calcular o limite para entender o tipo de descontinuidade. Para
temos , então
usando a propriedade de continuidade das funções polinomiais (substituição direta). Assim o limite existe e vale
, mas como
não está definido, não há igualdade entre limite e valor da função em
.
Portanto a descontinuidade em é do tipo removível (há um “buraco” no gráfico: o limite existe, mas o ponto não está definido). Se quisermos tornar a função contínua em
, bastaria definir
.
Portanto a descontinuidade em
Resposta
Domínio:
\n
A função não é contínua em . (
, mas
não está definida — descontinuidade removível.)
A função não é contínua em