Seja f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}. (1,0 ponto)
a) Determine o domínio da função f.
b) A função é contínua em x=2 ?

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=\frac{x^{2}-4}{x-2}\; e pede duas coisas:
a) Determinar o domínio de \;f\;.
b) Verificar se a função é contínua em \;x=2\;.
Informações relevantes fornecidas: o numerador é \;x^{2}-4\; e o denominador é \;x-2\;. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui e como encontrá‑lo (aulas rápidas antes de calcular): o domínio de uma função dada por uma expressão algébrica é o conjunto de todos os valores de \;x\; para os quais a expressão está bem definida. Para frações, uma regra básica é que não podemos dividir por zero — ou seja, valores de \;x\; que anulam o denominador devem ser excluídos do domínio. Portanto vamos achar para quais \;x\; o denominador \;x-2\; é zero:
x-2=0 \Rightarrow x=2.
Como em \;x=2\; o denominador fica zero, esse ponto deve ser excluído. Concluímos que o domínio é todos os reais exceto \;2\;, isto é:
\text{Domínio}=\left(-\infty,2\right)\cup\left(2,\infty\right).í

Passo 3

Agora é útil simplificar a expressão quando possível, para entender o comportamento da função fora do ponto problemático. Primeiro, fatoramos o numerador \;x^{2}-4\; usando a diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Substituindo na expressão original:
f(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Aqui temos um produto (x-2) no numerador e o mesmo fator no denominador, então podemos cancelar esse fator — mas atenção importante (regra que sempre preciso lembrar na prova): só podemos cancelar quando o fator não é zero. Ou seja, a simplificação é válida apenas para \;x\neq2\;. Após cancelar, para \;x\neq2\; obtemos a função equivalente
f(x)=x+2\quad\text{para}\quad x\neq2.
Esse cálculo mostra que, exceto em \;x=2\;, a função se comporta exatamente como a reta \;x+2\;.

Passo 4

Agora vamos à continuidade em \;x=2\;. Primeiro lembro a definição prática de continuidade num ponto a: a função é contínua em a se (i) a pertence ao domínio da função, (ii) o limite \lim_{x\to a} f(x) existe, e (iii) esse limite é igual ao valor f(a). Se qualquer uma dessas três condições falhar, a função não é contínua em a.
Aplicando isso a \;x=2\;:
  • Verificação (i): já vimos no Passo 2 que \;2\; não pertence ao domínio, porque o denominador anula aí. Logo a condição (i) falha — isso por si só garante que a função não é contínua em \;2\;.
  • Mesmo assim, é interessante calcular o limite para entender o tipo de descontinuidade. Para \;x\neq2\; temos f(x)=x+2, então
\lim_{x\to2} f(x)=\lim_{x\to2} (x+2)=2+2=4,
usando a propriedade de continuidade das funções polinomiais (substituição direta). Assim o limite existe e vale \;4\;, mas como f(2) não está definido, não há igualdade entre limite e valor da função em 2.
Portanto a descontinuidade em \;x=2\; é do tipo removível (há um “buraco” no gráfico: o limite existe, mas o ponto não está definido). Se quisermos tornar a função contínua em \;2\;, bastaria definir f(2)=4.

Resposta

Domínio: \left(-\infty,2\right)\cup\left(2,\infty\right)\n
A função não é contínua em \;x=2\;. ( \lim_{x\to2}f(x)=4, mas f(2) não está definida — descontinuidade removível.)

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