Seja a função f(x)=x^{3}+x-1, definida no intervalo [0,1]. Mostre que f é contínua em [0,1]. ( 1,5 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}+x-1\, definida no intervalo [0,1] e pede para mostrar que f é contínua em [0,1].
Informações relevantes:
  • A expressão explícita de f é \,f(x)=x^{3}+x-1.
  • O domínio considerado é o intervalo [0,1].
  • A tarefa é provar a continuidade de f em todo ponto desse intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar, de forma precisa e pública, o que significa ser contínuo em um ponto (a ideia que usaremos para provar que f é contínua em [0,1]). A definição \varepsilon- \delta de continuidade em um ponto é: seja a um ponto do domínio. Dizemos que uma função h é contínua em a se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, para todo x no domínio, se |x-a|<\delta então |h(x)-h(a)|<\varepsilon.
Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua em cada ponto desse intervalo. Vou usar essa definição para provar continuidade de f.

Passo 3

Mostro que funções muito simples são contínuas: a função identidade e a função constante. Esses são os blocos de construção.
  • Identidade: considere h(x)=x. Para provar que h é contínua em um ponto a, tome um \varepsilon>0 qualquer. Se escolhermos \delta=\varepsilon, então sempre que |x-a|<\delta temos
|h(x)-h(a)|=|x-a|<\delta=\varepsilon.
Portanto a identidade é contínua em qualquer a.
  • Constante: considere c(x)=C para algum C\in\mathbb{R}. Para qualquer a e qualquer \varepsilon>0 basta escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1); temos
|c(x)-c(a)|=|C-C|=0<\varepsilon.
Então função constante também é contínua em qualquer a.

Passo 4

Mostro agora que se duas funções são contínuas em um ponto, então sua soma é contínua nesse ponto (isto nos ajuda a somar termos de um polinômio).
Sejam u e v funções contínuas em um ponto a. Isso significa: para todo \varepsilon>0 existem \delta_u>0 e \delta_v>0 tais que
|x-a|<\delta_u \Rightarrow |u(x)-u(a)|<\varepsilon/2,
|x-a|<\delta_v \Rightarrow |v(x)-v(a)|<\varepsilon/2.
Escolha \delta=\min(\delta_u,\delta_v). Então, quando |x-a|<\delta, ambas desigualdades valem e
|(u+v)(x)-(u+v)(a)|=|u(x)-u(a)+v(x)-v(a)|\le |u(x)-u(a)|+|v(x)-v(a)|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Logo u+v é contínua em a.

Passo 5

Mostro que o produto de duas funções contínuas é contínuo (porque monômios e, por consequência, polinômios são produtos/somas de funções simples).
Sejam u e v contínuas em a. Queremos, dado \varepsilon>0, encontrar \delta>0 tal que |x-a|<\delta implique |u(x)v(x)-u(a)v(a)|<\varepsilon.
Observe a fatoração
u(x)v(x)-u(a)v(a)=u(x)\bigl(v(x)-v(a)\bigr)+v(a)\bigl(u(x)-u(a)\bigr).
Assim
|u(x)v(x)-u(a)v(a)|\le |u(x)|\,|v(x)-v(a)|+|v(a)|\,|u(x)-u(a)|.
Como u é contínua em a, existe \delta_1>0 tal que |x-a|<\delta_1 implica |u(x)-u(a)|<1. Isso garante que |u(x)|\le |u(a)|+1 quando |x-a|<\delta_1. Agora, dado \varepsilon>0, pela continuidade de v em a existe \delta_2>0 tal que |x-a|<\delta_2 implica
|v(x)-v(a)|<\frac{\varepsilon}{2(|u(a)|+1)}.
E pela continuidade de u existe \delta_3>0 tal que |x-a|<\delta_3 implica
|u(x)-u(a)|<\frac{\varepsilon}{2(1+|v(a)|)}.
Agora escolha \delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3). Se |x-a|<\delta então, usando os limites acima,
|u(x)v(x)-u(a)v(a)|\le (|u(a)|+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(|u(a)|+1)} + |v(a)|\cdot\frac{\varepsilon}{2(1+|v(a)|)} = \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Portanto uv é contínua em a.

Passo 6

A partir do passo anterior, podemos provar por indução que a função monômio m_n(x)=x^{n} é contínua para todo inteiro n\ge 1:
  • Base n=1: m_1(x)=x é a identidade, já provada contínua no Passo 3.
  • Passo indutivo: suponha m_k(x)=x^{k} contínua. Então m_{k+1}(x)=x^{k+1}=x\cdot x^{k}=m_1(x)\cdot m_k(x) é produto de duas funções contínuas, logo contínua pelo Passo 5.
Assim x^{n} é contínua para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 7

Mostro que múltiplo constante de função contínua é contínuo e que soma finita de contínuas é contínua — isso finaliza a ideia para polinômios.
  • Multiplicação por constante: se u é contínua em a e c\in\mathbb{R} é constante, então cu é contínua, pois
|c u(x)-c u(a)|=|c|\,|u(x)-u(a)|
e basta usar a continuidade de u.
  • Soma finita: do Passo 4, soma de duas contínuas é contínua. Por repetição, soma finita de contínuas é contínua.
Uma expressão polinomial é uma soma finita de constantes vezes monômios: por exemplo
f(x)=x^{3}+x-1 = 1\cdot x^{3} + 1\cdot x + (-1)\cdot 1.
Cada monômio x^{3} e x é contínuo (Passo 6), constantes são contínuas (Passo 3), constantes vezes monômios são contínuas, e a soma finita dessas funções é contínua. Portanto f é contínua em qualquer ponto a.

Passo 8

Concluo que f é contínua em todo ponto de \mathbb{R} (pois a argumentação vale para qualquer a), e portanto, em particular, é contínua em todo o intervalo [0,1]. Em termos práticos para a prova: polinômios são funções construídas por somas e produtos de identidade e constantes, e por isso são contínuos em todo lugar; assim qualquer polinômio restrito a [0,1] é contínuo nesse intervalo.

Resposta

A função \,f(x)=x^{3}+x-1\, é contínua em [0,1].

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