Seja a função
, definida no intervalo
. Mostre que
é contínua em
. ( 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
e pede para mostrar que
é contínua em
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A expressão explícita de
é . - O domínio considerado é o intervalo
. - A tarefa é provar a continuidade de
em todo ponto desse intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar, de forma precisa e pública, o que significa ser contínuo em um ponto (a ideia que usaremos para provar que
é contínua em
). A definição
-
de continuidade em um ponto é: seja
um ponto do domínio. Dizemos que uma função
é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, para todo
no domínio, se
então
.
Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua em cada ponto desse intervalo. Vou usar essa definição para provar continuidade de .
Uma função é contínua em um intervalo quando é contínua em cada ponto desse intervalo. Vou usar essa definição para provar continuidade de
Passo 3
Mostro que funções muito simples são contínuas: a função identidade e a função constante. Esses são os blocos de construção.
- Identidade: considere
. Para provar que é contínua em um ponto , tome um qualquer. Se escolhermos , então sempre que temos
Portanto a identidade é contínua em qualquer
.
- Constante: considere
para algum . Para qualquer e qualquer basta escolher qualquer (por exemplo ); temos
Então função constante também é contínua em qualquer
.
Passo 4
Mostro agora que se duas funções são contínuas em um ponto, então sua soma é contínua nesse ponto (isto nos ajuda a somar termos de um polinômio).
Sejam
e
funções contínuas em um ponto
. Isso significa: para todo
existem
e
tais que
Escolha
. Então, quando
, ambas desigualdades valem e
Logo
é contínua em
.
Passo 5
Mostro que o produto de duas funções contínuas é contínuo (porque monômios e, por consequência, polinômios são produtos/somas de funções simples).
Sejam
e
contínuas em
. Queremos, dado
, encontrar
tal que
implique
.
Observe a fatoração
Assim
Como
é contínua em
, existe
tal que
implica
. Isso garante que
quando
. Agora, dado
, pela continuidade de
em
existe
tal que
implica
E pela continuidade de
existe
tal que
implica
Agora escolha
. Se
então, usando os limites acima,
Portanto
é contínua em
.
Passo 6
A partir do passo anterior, podemos provar por indução que a função monômio
é contínua para todo inteiro
:
- Base
: é a identidade, já provada contínua no Passo 3. - Passo indutivo: suponha
contínua. Então é produto de duas funções contínuas, logo contínua pelo Passo 5.
Assim
é contínua para todo
.
Passo 7
Mostro que múltiplo constante de função contínua é contínuo e que soma finita de contínuas é contínua — isso finaliza a ideia para polinômios.
- Multiplicação por constante: se
é contínua em e é constante, então é contínua, pois
e basta usar a continuidade de
.
- Soma finita: do Passo 4, soma de duas contínuas é contínua. Por repetição, soma finita de contínuas é contínua.
Uma expressão polinomial é uma soma finita de constantes vezes monômios: por exemplo
Cada monômio
e
é contínuo (Passo 6), constantes são contínuas (Passo 3), constantes vezes monômios são contínuas, e a soma finita dessas funções é contínua. Portanto
é contínua em qualquer ponto
.
Passo 8
Concluo que
é contínua em todo ponto de
(pois a argumentação vale para qualquer
), e portanto, em particular, é contínua em todo o intervalo
. Em termos práticos para a prova: polinômios são funções construídas por somas e produtos de identidade e constantes, e por isso são contínuos em todo lugar; assim qualquer polinômio restrito a
é contínuo nesse intervalo.
Resposta
A função
é contínua em
.