Resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x-3 y-1}{3 x+4 y-2} .

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial. As informações dadas são:
  • A equação diferencial ordinária é
\frac{d y}{d x}=\frac{x-3 y-1}{3 x+4 y-2}.
  • Precisamos encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita da família de curvas solução).
Não há outras informações no enunciado.

Passo 2

Observação estratégica (sem ainda resolver): a razão do lado direito é uma razão de duas expressões lineares em x e y. Quando há constantes nos termos (aqui os -1 e -2), costuma ajudar deslocar as variáveis para um ponto em que numerador e denominador se anulam simultaneamente — assim a equação fica homogênea (sem termos constantes) no novo par de variáveis. Vou procurar um ponto (x_0,y_0) tal que
x_0-3y_0-1=0\quad\text{e}\quad 3x_0+4y_0-2=0.

Passo 3

Resolver o sistema linear para encontrar o ponto de anulação comum.
Da primeira equação:
x_0=3y_0+1.
Substituindo na segunda:
3(3y_0+1)+4y_0-2=0.
Calcule:
9y_0+3+4y_0-2=0\quad\Rightarrow\quad 13y_0+1=0.
Logo
y_0=-\frac{1}{13}.
E então
x_0=3\left(-\frac{1}{13}\right)+1=\frac{10}{13}.
Portanto o ponto é \left(\tfrac{10}{13},-\tfrac{1}{13}\right).

Passo 4

Fazer a mudança de variáveis centrada nesse ponto. Defina
u=x-\frac{10}{13},\qquad v=y+\frac{1}{13}.
Explicação rápida do porquê: com essa mudança, as constantes desaparecem do numerador e do denominador, tornando a razão homogênea em u e v. Agora escrevo a ODE em u,v. Como u e v são apenas translações, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{du}.

Passo 5

Substituir x=u+\tfrac{10}{13} e y=v-\tfrac{1}{13} no lado direito e usar que escolhemos (x_0,y_0) para anular os termos constantes. Calcule o numerador:
x-3y-1=(u+\tfrac{10}{13})-3(v-\tfrac{1}{13})-1 = u-3v +\bigl(\tfrac{10}{13}+ \tfrac{3}{13}-1\bigr).
Mas \tfrac{10}{13}+\tfrac{3}{13}-1=0 porque escolhemos o ponto que anula; então numerador =u-3v. De modo análogo o denominador dá 3u+4v. Portanto a ODE torna-se
\frac{dv}{du}=\frac{u-3v}{3u+4v}.

Passo 6

Observar que a razão do lado direito é homogênea de grau 0 em (u,v): depende apenas da razão v/u. Assim use a substituição usual para equações homogêneas:
z=\frac{v}{u}\quad\text{ou seja}\quad v=uz.
Explico: para funções homogêneas F(u,v) de grau zero, escrever v=uz reduz a ODE para uma equação em z e u separável.
Compute dv/du usando v=uz:
\frac{dv}{du}=z+u\frac{dz}{du}.
Substitua na ODE:
z+u\frac{dz}{du}=\frac{u-3(uz)}{3u+4(uz)}=\frac{1-3z}{3+4z}.

Passo 7

Isolar u\,dz/du:
u\frac{dz}{du}=\frac{1-3z}{3+4z}-z.
Colocar no mesmo denominador:
\frac{1-3z}{3+4z}-z=\frac{1-3z - z(3+4z)}{3+4z}=\frac{1-6z-4z^2}{3+4z}.
Logo
u\frac{dz}{du}=\frac{1-6z-4z^2}{3+4z}.

Passo 8

Separar variáveis:
\frac{3+4z}{1-6z-4z^2}\,dz=\frac{du}{u}.
Agora integraremos ambos os lados. Vou integrar primeiro o lado em z.

Passo 9

Calcular a primitiva de \dfrac{3+4z}{1-6z-4z^2}. Seja D(z)=1-6z-4z^2. Note que
D'(z)=-6-8z=-(6+8z).
Observe que
3+4z=-\frac{1}{2}D'(z),
porque -\tfrac{1}{2}(-6-8z)=3+4z. Assim
\int\frac{3+4z}{1-6z-4z^2}\,dz=\int\frac{-\tfrac{1}{2}D'(z)}{D(z)}\,dz=-\frac{1}{2}\ln\bigl|D(z)\bigr|+C.
Substituindo D(z) de volta:
\int\frac{3+4z}{1-6z-4z^2}\,dz=-\frac{1}{2}\ln\bigl|1-6z-4z^2\bigr|+C.

Passo 10

Integrar o lado direito \displaystyle\int\frac{du}{u}=\ln|u|+C. Igualando as primitivas (absorvendo constantes em uma só constante C) obtemos
-\frac{1}{2}\ln\bigl|1-6z-4z^2\bigr|=\ln|u|+C.
Multiplique por -2 e exponencie ou reescreva em forma implícita:
\ln\bigl|1-6z-4z^2\bigr|=-2\ln|u|+C_1
\ln\bigl(|u|^{2}\,|1-6z-4z^2|\bigr)=C_1
o que dá, com C genérico,
u^2\bigl(1-6z-4z^2\bigr)=C.

Passo 11

Voltar às variáveis u,v e depois para x,y. Lembre que z=v/u, então
u^2\Bigl(1-6\frac{v}{u}-4\frac{v^2}{u^2}\Bigr)=u^2-6uv-4v^2=C.
Agora substituir u=x-\tfrac{10}{13} e v=y+\tfrac{1}{13}. Assim a solução geral, em forma implícita, é
\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)^2-6\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)\bigl(y+\tfrac{1}{13}\bigr)-4\bigl(y+\tfrac{1}{13}\bigr)^2=C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 12

(se quiser uma forma sem frações, multiplique ambos os lados por 169 e chame K=169C; então)
(13x-10)^2-6(13x-10)(13y+1)-4(13y+1)^2=K,
com K constante arbitrária. Ambas as formas representam a mesma família de curvas.

Resposta

\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)^2-6\bigl(x-\tfrac{10}{13}\bigr)\bigl(y+\tfrac{1}{13}\bigr)-4\bigl(y+\tfrac{1}{13}\bigr)^2=C

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