O enunciado pede para resolver a equação diferencial. As informações dadas são:
A equação diferencial ordinária é
\frac{d y}{d x}=\frac{x-3 y-1}{3 x+4 y-2}.
Precisamos encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita da família de curvas solução).
Não há outras informações no enunciado.
Passo 2
Observação estratégica (sem ainda resolver): a razão do lado direito é uma razão de duas expressões lineares em x e y. Quando há constantes nos termos (aqui os -1 e -2), costuma ajudar deslocar as variáveis para um ponto em que numerador e denominador se anulam simultaneamente — assim a equação fica homogênea (sem termos constantes) no novo par de variáveis. Vou procurar um ponto (x_0,y_0) tal que
x_0-3y_0-1=0\quad\text{e}\quad 3x_0+4y_0-2=0.
Passo 3
Resolver o sistema linear para encontrar o ponto de anulação comum.
Da primeira equação:
x_0=3y_0+1.
Substituindo na segunda:
3(3y_0+1)+4y_0-2=0.
Calcule:
9y_0+3+4y_0-2=0\quad\Rightarrow\quad 13y_0+1=0.
Logo
y_0=-\frac{1}{13}.
E então
x_0=3\left(-\frac{1}{13}\right)+1=\frac{10}{13}.
Portanto o ponto é \left(\tfrac{10}{13},-\tfrac{1}{13}\right).
Passo 4
Fazer a mudança de variáveis centrada nesse ponto. Defina
u=x-\frac{10}{13},\qquad v=y+\frac{1}{13}.
Explicação rápida do porquê: com essa mudança, as constantes desaparecem do numerador e do denominador, tornando a razão homogênea em u e v. Agora escrevo a ODE em u,v. Como u e v são apenas translações, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{dv}{du}.
Passo 5
Substituir x=u+\tfrac{10}{13} e y=v-\tfrac{1}{13} no lado direito e usar que escolhemos (x_0,y_0) para anular os termos constantes. Calcule o numerador:
Mas \tfrac{10}{13}+\tfrac{3}{13}-1=0 porque escolhemos o ponto que anula; então numerador =u-3v. De modo análogo o denominador dá 3u+4v. Portanto a ODE torna-se
\frac{dv}{du}=\frac{u-3v}{3u+4v}.
Passo 6
Observar que a razão do lado direito é homogênea de grau 0 em (u,v): depende apenas da razão v/u. Assim use a substituição usual para equações homogêneas:
z=\frac{v}{u}\quad\text{ou seja}\quad v=uz.
Explico: para funções homogêneas F(u,v) de grau zero, escrever v=uz reduz a ODE para uma equação em z e u separável.