\text{(i)}\\ \text{o primeiro integrando envolve }\sqrt{9-x^{2}};\quad \text{(ii)}\\ \text{o segundo envolve }\sqrt{4+x^{2}};\quad \text{(iii)}\\ \text{o terceiro envolve }\sqrt{x^{2}-16}.
Nenhuma outra informação é necessária. A tarefa é encontrar primitivas de cada uma.
Passo 2
Vamos resolver a primeira integral
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Motivação da substituição que vamos usar: quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} uma substituição clássica é tomar x=a\sin\theta, porque \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 transforma a raiz numa expressão simples em \cos\theta. Aqui a=3. Portanto fazemos:
Agora precisamos achar duas primitivas: \int \sqrt{4+x^{2}}\,dx e \int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx. Para isso usamos a substituição trigonométrica adequada para \sqrt{x^{2}+a^{2}}: tomar x=a\tan\theta com a=2.
Passo 6
Fazendo a substituição x=2\tan\theta (portanto dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e \sqrt{4+x^{2}}=2\operatorname{sec}\theta), calculamos a primeira primitiva:
Integrar \operatorname{sec}^{3}\theta tem um método padrão (integração por partes). Mas existe uma fórmula direta conhecida para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx. Vou apresentar a integração por partes resumida para \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta e levar ao resultado final em x:
Para \sqrt{x^{2}-a^{2}} a substituição clássica é x=a\operatorname{sec}\theta porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta transforma a raiz numa expressão em \tan\theta. Aqui a=4. Então fazemos:
Podemos usar \theta=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right) se preferirmos expressar \theta por arco tangente. Substituindo em 4(\tan\theta-\theta):