Resolva cada uma das integrais usando substituição trigonométrica:
\int \sqrt{9-x^{2}} d x \quad \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}} d x \quad \int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as três integrais abaixo e devolvê-las em forma primitiva (com constante de integração):
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx,\qquad \int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx,\qquad \int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}\,dx.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{(i)}\\ \text{o primeiro integrando envolve }\sqrt{9-x^{2}};\quad \text{(ii)}\\ \text{o segundo envolve }\sqrt{4+x^{2}};\quad \text{(iii)}\\ \text{o terceiro envolve }\sqrt{x^{2}-16}.
Nenhuma outra informação é necessária. A tarefa é encontrar primitivas de cada uma.

Passo 2

Vamos resolver a primeira integral
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx.
Motivação da substituição que vamos usar: quando aparece \sqrt{a^{2}-x^{2}} uma substituição clássica é tomar x=a\sin\theta, porque \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 transforma a raiz numa expressão simples em \cos\theta. Aqui a=3. Portanto fazemos:
x=3\sin\theta.
Agora calculamos dx e a raiz em função de \theta:
dx=3\cos\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta,
onde usamos que, ao escolher \theta no intervalo apropriado, \cos\theta\ge0 e a raiz fica 3\cos\theta.
Substituindo na integral:
\int \sqrt{9-x^{2}}\,dx=\int (3\cos\theta)\,(3\cos\theta\,d\theta)=9\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Continuando a integral em \theta. Para integrar \cos^{2}\theta usamos a identidade de redução:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Portanto
9\int \cos^{2}\theta\,d\theta=9\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta=\frac{9}{2}\int \left(1+\cos(2\theta)\right)\,d\theta.
Integrando:
\frac{9}{2}\left(\theta+\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right)+C.
Agora simplificamos \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta para obter
\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{4}\sin(2\theta)+C=\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta +C.

Passo 4

Volta em x: lembrar que fizemos x=3\sin\theta, então
\sin\theta=\frac{x}{3},\qquad \cos\theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3},\qquad \theta=\arcsin\left(\frac{x}{3}\right).
Substituindo em
\frac{9}{2}\theta+\frac{9}{2}\sin\theta\cos\theta +C
obtemos
\frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+\frac{9}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}+C.
Simplificando o segundo termo:
\frac{9}{2}\cdot\frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}=\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^{2}}.
Assim a primitiva final é
\frac{1}{2}x\sqrt{9-x^{2}}+\frac{9}{2}\arcsin\left(\frac{x}{3}\right)+C.

Passo 5

Agora a segunda integral:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
Uma estratégia prática (que reduz trabalho) é decompor x^{2} em
x^{2}=(x^{2}+4)-4,
para obter
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx=\int \frac{x^{2}+4}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx-4\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
Observe que \frac{x^{2}+4}{\sqrt{4+x^{2}}}=\sqrt{4+x^{2}}. Logo
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx=\int \sqrt{4+x^{2}}\,dx-4\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
Agora precisamos achar duas primitivas: \int \sqrt{4+x^{2}}\,dx e \int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx. Para isso usamos a substituição trigonométrica adequada para \sqrt{x^{2}+a^{2}}: tomar x=a\tan\theta com a=2.

Passo 6

Fazendo a substituição x=2\tan\theta (portanto dx=2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta e \sqrt{4+x^{2}}=2\operatorname{sec}\theta), calculamos a primeira primitiva:
\int \sqrt{4+x^{2}}\,dx=\int (2\operatorname{sec}\theta)\,(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta)=4\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Integrar \operatorname{sec}^{3}\theta tem um método padrão (integração por partes). Mas existe uma fórmula direta conhecida para \int \sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx. Vou apresentar a integração por partes resumida para \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta e levar ao resultado final em x:
Integração padrão dá
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln\left|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right|\right)+C.
Multiplicando por 4:
\int \sqrt{4+x^{2}}\,dx =4\cdot\frac{1}{2}\left(\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\ln\left|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right|\right)+C =2\operatorname{sec}\theta\tan\theta+2\ln\left|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right|+C.

Passo 7

Volta em x: com x=2\tan\theta temos
\tan\theta=\frac{x}{2},\qquad \operatorname{sec}\theta=\sqrt{1+\tan^{2}\theta}=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}.
Substituindo:
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta=2\cdot\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2},
e
2\ln\left|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\right|=2\ln\left|\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}+\frac{x}{2}\right| =2\ln\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}+4}}{2}\right|.
Como \ln\left(\frac{\cdot}{2}\right)=\ln(\cdot)-\ln 2 e constantes podem ser absorvidas em C, podemos escrever a primitiva mais simples como
\int \sqrt{4+x^{2}}\,dx=\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}+2\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|+C.

Passo 8

Agora a segunda primitiva necessária:
\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
Esta é uma primitiva padrão que pode ser obtida também pela substituição x=2\tan\theta (ou usando fórmula de \operatorname{arsinh}). O resultado é
\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx=\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|+C.
(É a forma \operatorname{arsinh}(x/2) reescrita em termos de logaritmo.)

Passo 9

Voltamos à decomposição do Passo 5:
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx =\int \sqrt{4+x^{2}}\,dx-4\int \frac{1}{\sqrt{4+x^{2}}}\,dx.
Substituindo as primitivas encontradas:
\left(\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}+2\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|\right) -4\left(\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|\right)+C.
Agrupando termos logarítmicos:
\frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}-2\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|+C.

Passo 10

Agora a terceira integral:
\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}\,dx.
Para \sqrt{x^{2}-a^{2}} a substituição clássica é x=a\operatorname{sec}\theta porque \operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta transforma a raiz numa expressão em \tan\theta. Aqui a=4. Então fazemos:
x=4\operatorname{sec}\theta.
Calculamos dx e a raiz:
dx=4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,\qquad \sqrt{x^{2}-16}=\sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta-16}=4\tan\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}\,dx =\int \frac{4\tan\theta}{4\operatorname{sec}\theta}\, (4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
Simplificando os fatores:
\frac{4\tan\theta}{4\operatorname{sec}\theta}\cdot 4\operatorname{sec}\theta\tan\theta =4\tan^{2}\theta.
Então a integral reduz-se a
\int \frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}\,dx=4\int \tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 11

Integrando \tan^{2}\theta: usar \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Assim
4\int \tan^{2}\theta\,d\theta=4\int (\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta =4\left(\tan\theta-\theta\right)+C.
Agora voltamos a x. Temos das substituições:
\tan\theta=\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=\sqrt{\left(\frac{x}{4}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4},
e também
\theta=\arcsec\left(\frac{x}{4}\right).
Podemos usar \theta=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right) se preferirmos expressar \theta por arco tangente. Substituindo em 4(\tan\theta-\theta):
4\tan\theta-4\theta =\;4\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}-4\theta =\sqrt{x^{2}-16}-4\theta.
Escolhendo \theta=\arctan\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right) obtemos a primitiva
\sqrt{x^{2}-16}-4\arctan\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right)+C.
(Alternativamente é comum escrever o termo com \ln, mas a forma com \arctan é perfeitamente correta e direta vindo da substituição.)

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}x\sqrt{9-x^{2}}+\frac{9}{2}\arcsin\!\left(\frac{x}{3}\right)+C
\displaystyle \frac{x\sqrt{x^{2}+4}}{2}-2\ln\!\left|x+\sqrt{x^{2}+4}\right|+C
\displaystyle \sqrt{x^{2}-16}-4\arctan\!\left(\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{4}\right)+C

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