Resolva cada uma das integrais a seguir usando frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as primitivas ( Integrais indefinidas ) das três funções racionais abaixo, usando frações parciais:
Informações dadas: cada integrando é uma função racional (uma razão de polinômios). A tarefa é decompor cada razão em somas de frações simples apropriadas e depois integrar cada termo. Não há figura nem outro dado externo.
Passo 2
Breve aula prática sobre frações parciais (sem jargão):
- Se eu tenho uma função racional
com polinômios, primeiro verifico se é uma fração própria, isto é, . Se não for, faço divisão polinomial antes de decompor. - Depois fatoro
em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis (no caso real, quadráticos que não têm raiz real). - Para cada fator linear distinto
coloco um termo . - Para fator linear repetido
coloco termos . - Para fator quadrático irreduzível
coloco . - Após escrever a soma dos termos, multiplico ambos os lados pelo denominador comum para obter uma identidade polinomial e igualo coeficientes ou uso valores de
convenientes para encontrar as constantes. - Regras de integração que usaremos:
Vou aplicar exatamente esse procedimento às três integrais.
Passo 3
Primeira integral:
Verifico grau: numerador grau
, denominador grau
→ já é fração própria. Como os fatores do denominador são lineares distintos, proponho
Multiplico ambos os lados por
:
Expando o lado direito:
Igualando coeficientes de
e termo constante obtenho o sistema
Resolvo: de
temos
. Substituindo em
:
Então
Passo 4
Integro os termos obtidos:
Portanto
(Usei a regra
.)
Passo 5
Segunda integral:
Grau do numerador
, denominador
→ fração própria. O denominador é
(linear) vezes
(quadrático irreduzível). Então proponho
Multiplico ambos os lados por
:
Expando o lado direito:
Agrupando termos:
Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
Passo 6
Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação
. Substituo na segunda:
Substituo
na terceira:
Então
Logo a decomposição é
Passo 7
Agora integro terminho a terminho usando as regras listadas:
Portanto
Passo 8
Terceira integral:
Grau do numerador
, denominador
→ fração própria. O denominador tem fator linear
e fator linear repetido
. O modelo de decomposição é
Multiplico ambos os lados por
:
Expando:
Agrupando:
Igualando coeficientes, o sistema é
Passo 9
Da última equação já tenho
. Substituindo em
dá
. Substituindo
na segunda equação:
Assim a decomposição é
Passo 10
Integro cada termo final:
Somando,