Resolva cada uma das integrais a seguir usando frações parciais:
\int \frac{3 x+5}{(x-1)(x+2)} d x \quad \int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x \quad \int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as primitivas ( Integrais indefinidas ) das três funções racionais abaixo, usando frações parciais:
\int \frac{3 x+5}{(x-1)(x+2)} d x,\qquad \int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x,\qquad \int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}} d x.
Informações dadas: cada integrando é uma função racional (uma razão de polinômios). A tarefa é decompor cada razão em somas de frações simples apropriadas e depois integrar cada termo. Não há figura nem outro dado externo.

Passo 2

Breve aula prática sobre frações parciais (sem jargão):
  • Se eu tenho uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P,Q polinômios, primeiro verifico se é uma fração própria, isto é, \deg(P)<\deg(Q). Se não for, faço divisão polinomial antes de decompor.
  • Depois fatoro Q(x) em fatores lineares e quadráticos irreduzíveis (no caso real, quadráticos que não têm raiz real).
  • Para cada fator linear distinto (x-a) coloco um termo \dfrac{A}{x-a}.
  • Para fator linear repetido (x-a)^k coloco termos \dfrac{A_1}{x-a}+\dfrac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\dfrac{A_k}{(x-a)^k}.
  • Para fator quadrático irreduzível (x^2+bx+c) coloco \dfrac{Bx+C}{x^2+bx+c}.
  • Após escrever a soma dos termos, multiplico ambos os lados pelo denominador comum para obter uma identidade polinomial e igualo coeficientes ou uso valores de x convenientes para encontrar as constantes.
  • Regras de integração que usaremos: \int \frac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C,\qquad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right)+C,
\int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx=\arctan x + C,\qquad \int \frac{1}{(x-a)^{2}}\,dx=-\frac{1}{x-a}+C.
Vou aplicar exatamente esse procedimento às três integrais.

Passo 3

Primeira integral:
\int \frac{3 x+5}{(x-1)(x+2)} d x.
Verifico grau: numerador grau 1, denominador grau 2 → já é fração própria. Como os fatores do denominador são lineares distintos, proponho
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}.
Multiplico ambos os lados por (x-1)(x+2):
3x+5 = A(x+2)+B(x-1).
Expando o lado direito:
3x+5 = (A+B)x + (2A - B).
Igualando coeficientes de x e termo constante obtenho o sistema
A+B=3,\qquad 2A-B=5.
Resolvo: de A+B=3 temos B=3-A. Substituindo em 2A-B=5:
2A-(3-A)=5 \implies 3A-3=5 \implies 3A=8 \implies A=\tfrac{8}{3}.
Então
B=3-A=3-\tfrac{8}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Integro os termos obtidos:
\frac{3x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{8/3}{x-1}+\frac{1/3}{x+2}.
Portanto
\int \frac{3 x+5}{(x-1)(x+2)} d x = \frac{8}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C.
(Usei a regra \int \dfrac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C.)

Passo 5

Segunda integral:
\int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x.
Grau do numerador =2, denominador =3 → fração própria. O denominador é (x+1) (linear) vezes (x^{2}+1) (quadrático irreduzível). Então proponho
\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplico ambos os lados por (x+1)(x^{2}+1):
x^{2}+2x+3 = A(x^{2}+1) + (Bx+C)(x+1).
Expando o lado direito:
x^{2}+2x+3 = A x^{2} + A + Bx^{2} + Bx + Cx + C.
Agrupando termos:
x^{2}+2x+3 = (A+B)x^{2} + (B+C)x + (A+C).
Igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=1,\qquad B+C=2,\qquad A+C=3.

Passo 6

Resolvo o sistema passo a passo. Da primeira equação B=1-A. Substituo na segunda:
(1-A)+C=2 \implies C=1+A.
Substituo C na terceira:
A+(1+A)=3 \implies 2A+1=3 \implies 2A=2 \implies A=1.
Então
B=1-A=0,\qquad C=1+A=2.
Logo a decomposição é
\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)(x^{2}+1)}=\frac{1}{x+1}+\frac{0\cdot x+2}{x^{2}+1}=\frac{1}{x+1}+\frac{2}{x^{2}+1}.

Passo 7

Agora integro terminho a terminho usando as regras listadas:
\int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C,\qquad \int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = 2\arctan x + C.
Portanto
\int \frac{x^{2}+2 x+3}{(x+1)\left(x^{2}+1\right)} d x = \ln|x+1| + 2\arctan x + C.

Passo 8

Terceira integral:
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}} d x.
Grau do numerador =2, denominador =3 → fração própria. O denominador tem fator linear x e fator linear repetido (x+1)^{2}. O modelo de decomposição é
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}}.
Multiplico ambos os lados por x(x+1)^{2}:
2x^{2}+3x+1 = A(x+1)^{2} + Bx(x+1) + Cx.
Expando:
2x^{2}+3x+1 = A(x^{2}+2x+1) + B(x^{2}+x) + Cx.
Agrupando:
2x^{2}+3x+1 = (A+B)x^{2} + (2A+B+C)x + A.
Igualando coeficientes, o sistema é
A+B=2,\qquad 2A+B+C=3,\qquad A=1.

Passo 9

Da última equação já tenho A=1. Substituindo em A+B=2 B=1. Substituindo A,B na segunda equação:
2\cdot1 + 1 + C =3 \implies 3 + C =3 \implies C=0.
Assim a decomposição é
\frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{0}{(x+1)^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}.

Passo 10

Integro cada termo final:
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,\qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx=\ln|x+1|+C.
Somando,
\int \frac{2 x^{2}+3 x+1}{x(x+1)^{2}} d x = \ln|x| + \ln|x+1| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C
\displaystyle \ln|x+1|+2\arctan x + C
\displaystyle \ln|x|+\ln|x+1|+C

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