Resolva a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x}{y^{4}}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A variável independente é x e a dependente é y, ou seja queremos y(x).
  • Não foi dada condição inicial; portanto procuramos a solução geral (com constante de integração).
  • Note que a equação envolve y no denominador (há y^{4}), então pontos onde y=0 são singulares para a equação original.

Passo 2

Escolhendo o método: esta equação é separável. Explico o que isso significa de forma simples: “separável” quer dizer que podemos colocar todos os termos com y (incluindo dy) num lado da igualdade e todos os termos com x (incluindo dx) no outro lado, e então integrar. Isso funciona bem quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função só de x por uma função só de y. Aqui a direita é o produto de x (só x) por 1/y^{4} (só y), então aplicamos separação de variáveis.

Passo 3

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por y^{4} e por dx. Fazendo isso obtemos a igualdade entre diferenciais:
y^{4}\,dy = x\,dx.
Isto significa que agora temos um lado que depende apenas de y e outro que depende apenas de x, prontos para integrar.

Passo 4

Agora vamos integrar os dois lados. Antes de integrar, lembro uma fórmula muito útil de antiderivada: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui, ao integrar em y temos n=4, então a antiderivada é \dfrac{y^{5}}{5}. No lado de x, usamos que \int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2}. Vamos aplicar isso.

Passo 5

Integrando ambos os lados da igualdade y^{4}\,dy = x\,dx obtemos
\int y^{4}\,dy = \int x\,dx.
Aplicando as fórmulas citadas temos
\frac{y^{5}}{5} = \frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração (única constante, porque juntamos as integrais em uma igualdade).

Passo 6

Isolamos y^{5} multiplicando ambos os lados por 5:
y^{5} = \frac{5}{2}\,x^{2} + C_{1},
onde renomeei 5C como C_{1} (a constante pode sempre ser renomeada; ainda é uma constante arbitrária).

Passo 7

Para obter y explicitamente, aplicamos a raiz quinta (expoente 1/5) aos dois lados. Como a raiz quinta é uma função ímpar, ela é definida para todo número real (podemos ter soluções positivas ou negativas):
y(x) = \left(\frac{5}{2}\,x^{2} + C_{1}\right)^{1/5}.
Aqui C_{1} é uma constante real arbitrária. Este é o formato explícito da solução geral.

Passo 8

Comentário sobre domínios e y=0: a equação original não está definida quando y=0. Assim, as soluções obtidas são válidas em intervalos onde y(x)\neq 0. Se existir x_{0} tal que \frac{5}{2}x_{0}^{2}+C_{1}=0 então a expressão dá y(x_{0})=0; nesses pontos a equação original falha (derivada não definida). Em problemas com condição inicial é preciso escolher C_{1} de forma compatível e considerar o intervalo em que a solução é válida.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova): difereciar implicitamente a forma \dfrac{y^{5}}{5}=\dfrac{x^{2}}{2}+C. Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{5\,y^{4}}{5}\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{2}
o que simplifica para
y^{4}\frac{dy}{dx}=x,
ou seja
\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y^{4}},
que coincide com a equação dada — verificação concluída.

Resposta

y(x)=\left(\dfrac{5}{2}\,x^{2}+C\right)^{1/5}

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