Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede que resolvamos a equação diferencial
Informações dadas e o que se pede:
- A variável independente é
e a dependente é , ou seja queremos . - Não foi dada condição inicial; portanto procuramos a solução geral (com constante de integração).
- Note que a equação envolve
no denominador (há ), então pontos onde são singulares para a equação original.
Passo 2
Escolhendo o método: esta equação é separável. Explico o que isso significa de forma simples: “separável” quer dizer que podemos colocar todos os termos com
(incluindo
) num lado da igualdade e todos os termos com
(incluindo
) no outro lado, e então integrar. Isso funciona bem quando a derivada pode ser escrita como produto de uma função só de
por uma função só de
. Aqui a direita é o produto de
(só
) por
(só
), então aplicamos separação de variáveis.
Passo 3
Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por
e por
. Fazendo isso obtemos a igualdade entre diferenciais:
Isto significa que agora temos um lado que depende apenas de
e outro que depende apenas de
, prontos para integrar.
Passo 4
Agora vamos integrar os dois lados. Antes de integrar, lembro uma fórmula muito útil de antiderivada: para
,
Aqui, ao integrar em
temos
, então a antiderivada é
. No lado de
, usamos que
. Vamos aplicar isso.
Passo 5
Integrando ambos os lados da igualdade
obtemos
Aplicando as fórmulas citadas temos
onde
é a constante de integração (única constante, porque juntamos as integrais em uma igualdade).
Passo 6
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
onde renomeei
como
(a constante pode sempre ser renomeada; ainda é uma constante arbitrária).
Passo 7
Para obter
explicitamente, aplicamos a raiz quinta (expoente
) aos dois lados. Como a raiz quinta é uma função ímpar, ela é definida para todo número real (podemos ter soluções positivas ou negativas):
Aqui
é uma constante real arbitrária. Este é o formato explícito da solução geral.
Passo 8
Comentário sobre domínios e
: a equação original não está definida quando
. Assim, as soluções obtidas são válidas em intervalos onde
. Se existir
tal que
então a expressão dá
; nesses pontos a equação original falha (derivada não definida). Em problemas com condição inicial é preciso escolher
de forma compatível e considerar o intervalo em que a solução é válida.
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova): difereciar implicitamente a forma
. Derivando ambos os lados em relação a
:
o que simplifica para
ou seja
que coincide com a equação dada — verificação concluída.