Resolva a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=3 x^{2} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada. As informações fornecidas são:
\frac{dy}{dx} = 3x^{2}y^{2}.
A tarefa é encontrar a família de soluções y(x) que satisfazem essa equação (solução geral). Não há condição inicial fornecida.

Passo 2

Vamos observar o que a equação nos diz e ver uma estratégia. A equação relaciona a derivada de y com uma função de x multiplicada por uma função de y. Quando a equação pode ser escrita como um produto de uma função de x por uma função de y, dizemos que ela é separável — isto é, podemos “separar” todos os termos que envolvem y num lado e todos os termos que envolvem x no outro. Aqui podemos tentar isso porque o lado direito é 3x^{2} (apenas x) vezes y^{2} (apenas y).

Passo 3

Para separar variáveis, manipulamos a equação para agrupar termos de y com dy e termos de x com dx. Partimos de
\frac{dy}{dx} = 3x^{2}y^{2}.
Queremos algo do tipo g(y)\,dy = h(x)\,dx. Dividindo ambos os lados por y^{2} (assumindo momentaneamente y\neq 0) obtemos
\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx} = 3x^{2}.
Agora multiplicamos ambos os lados por dx:
\frac{1}{y^{2}}\,dy = 3x^{2}\,dx.
Pronto — as variáveis foram separadas: tudo que depende de y está no lado esquerdo e tudo que depende de x está no lado direito.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados. Vou lembrar a fórmula básica de integrais que usaremos: para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso temos y^{-2} no lado esquerdo, então n=-2 e a integral é
\int y^{-2}\,dy = \frac{y^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{y} + C.
No lado direito temos 3x^{2}; a integral de x^{2} é \frac{x^{3}}{3}, então
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3} = x^{3} + C.
Agora integramos a igualdade \frac{1}{y^{2}}\,dy = 3x^{2}\,dx e obtemos
-\frac{1}{y} = x^{3} + C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração resultante.

Passo 5

A partir de
-\frac{1}{y} = x^{3} + C_{1},
vamos isolar y. Multiplicando por -1,
\frac{1}{y} = -x^{3} + C_{2},
onde C_{2} = -C_{1} é outra constante arbitrária (é comum renomear a constante para simplificar). Agora invertemos ambos os lados (desde que o lado direito não seja zero) para obter y:
y = \frac{1}{C_{2} - x^{3}}.
Para simplificar a notação, podemos chamar a constante simplesmente de C. A solução geral (para y\neq 0) fica
y(x) = \frac{1}{C - x^{3}},
com C uma constante real arbitrária.

Passo 6

Devemos verificar se houve alguma operação que excluiu soluções possíveis. Ao dividir por y^{2} no Passo 3, assumimos y\neq 0. Portanto precisamos checar se y\equiv 0 (solução identicamente zero) é solução da equação original. Se y(x)=0 para todo x, então \frac{dy}{dx}=0 e o lado direito 3x^{2}y^{2}=0. Logo y\equiv 0 satisfaz a equação e é uma solução válida (chamada de solução singular ou solução trivial). Nossa família y=\frac{1}{C-x^{3}} não contempla y\equiv 0, então devemos listá-la separadamente.

Passo 7

É sempre bom checar rapidamente: diferencie a solução obtida e verifique se satisfaz a ODE. Tome
y = \frac{1}{C - x^{3}}.
Então
\frac{dy}{dx} = -1\cdot (C - x^{3})^{-2}\cdot(-3x^{2}) = \frac{3x^{2}}{(C - x^{3})^{2}}.
E como y^{2} = \frac{1}{(C - x^{3})^{2}}, temos
3x^{2}y^{2} = 3x^{2}\cdot\frac{1}{(C - x^{3})^{2}} = \frac{3x^{2}}{(C - x^{3})^{2}},
que coincide com \frac{dy}{dx}. Boa — a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{C-x^{3}},\; C\in\mathbb{R}\n y(x)=0

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