Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada. As informações fornecidas são:
A tarefa é encontrar a família de soluções
que satisfazem essa equação (solução geral). Não há condição inicial fornecida.
Passo 2
Vamos observar o que a equação nos diz e ver uma estratégia. A equação relaciona a derivada de
com uma função de
multiplicada por uma função de
. Quando a equação pode ser escrita como um produto de uma função de
por uma função de
, dizemos que ela é separável — isto é, podemos “separar” todos os termos que envolvem
num lado e todos os termos que envolvem
no outro. Aqui podemos tentar isso porque o lado direito é
(apenas
) vezes
(apenas
).
Passo 3
Para separar variáveis, manipulamos a equação para agrupar termos de
com
e termos de
com
. Partimos de
Queremos algo do tipo
. Dividindo ambos os lados por
(assumindo momentaneamente
) obtemos
Agora multiplicamos ambos os lados por
:
Pronto — as variáveis foram separadas: tudo que depende de
está no lado esquerdo e tudo que depende de
está no lado direito.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados. Vou lembrar a fórmula básica de integrais que usaremos: para
,
No nosso caso temos
no lado esquerdo, então
e a integral é
No lado direito temos
; a integral de
é
, então
Agora integramos a igualdade
e obtemos
onde
é a constante de integração resultante.
Passo 5
A partir de
vamos isolar
. Multiplicando por
,
onde
é outra constante arbitrária (é comum renomear a constante para simplificar). Agora invertemos ambos os lados (desde que o lado direito não seja zero) para obter
:
Para simplificar a notação, podemos chamar a constante simplesmente de
. A solução geral (para
) fica
com
uma constante real arbitrária.
Passo 6
Devemos verificar se houve alguma operação que excluiu soluções possíveis. Ao dividir por
no Passo 3, assumimos
. Portanto precisamos checar se
(solução identicamente zero) é solução da equação original. Se
para todo
, então
e o lado direito
. Logo
satisfaz a equação e é uma solução válida (chamada de solução singular ou solução trivial). Nossa família
não contempla
, então devemos listá-la separadamente.
Passo 7
É sempre bom checar rapidamente: diferencie a solução obtida e verifique se satisfaz a ODE. Tome
Então
E como
, temos
que coincide com
. Boa — a solução está correta.