Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial dada:
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
e a derivada é em relação a , ou seja . - A equação envolve o fator
multiplicando , portanto é um ponto onde a equação não está definida (logo a solução geral será obtida para ). - A tarefa é encontrar a família de funções
que satisfazem essa identidade para todo no domínio considerado.
Passo 2
Vamos primeiro pôr a equação em uma forma padrão para equações lineares de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(lembrando que estamos assumindo
) obtemos:
Aqui escrevi a equação no formato
com
e
.
Passo 3
Escolhemos o método do fator integrante (integrating factor). Justificativa: a equação está na forma linear de primeira ordem e o fator integrante é o procedimento padrão e mais direto para resolver esse tipo de equação sem complicações extras. Além disso este método leva a uma equação exata cuja integral é simples.
Passo 4
Lembrete didático sobre o fator integrante: para uma equação
o fator integrante
é definido por
A razão: multiplicando a equação por
obtemos
e se
satisfaz
então o lado esquerdo é exatamente a derivada de
, isto é
. Assim a equação vira
que integrou facilmente.
Passo 5
Calculemos o fator integrante usando
:
Para trabalhar de forma simples, escolhemos
em cada intervalo onde
ou
(o sinal pode ser absorvido pela constante de integração depois). Mantemos em mente que
.
Passo 6
Multiplicando a forma padrão da equação por
obtemos:
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de
. Para ver isso explicitamente, calcule:
Portanto a equação fica
Passo 7
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. No lado direito, escrevemos
e integramos:
onde
é a constante de integração. Assim obtemos:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por
(novamente
) obtemos a solução explícita:
Podemos reescrever de forma mais usual como
onde
é a constante arbitrária de integração.
Passo 9
Verificação rápida (importante para prova): derivando a solução temos
. Substituindo em
:
logo a identidade é satisfeita, a solução confere.
Passo 10
Observação sobre domínio e constantes: a solução geral
é válida para
(a equação diferencial original não está definida em
). Em provas, vale dizer isso explicitamente. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica (fator integrante) é ótima e rápida em prova. Força aí, você consegue!