Resolva a equação diferencial.
x y^{\prime}=y+3

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial dada:
x\,y' = y + 3.
Informações e observações imediatas extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x) e a derivada é em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve o fator x multiplicando y', portanto x=0 é um ponto onde a equação não está definida (logo a solução geral será obtida para x\neq 0).
  • A tarefa é encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa identidade para todo x no domínio considerado.

Passo 2

Vamos primeiro pôr a equação em uma forma padrão para equações lineares de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por x (lembrando que estamos assumindo x\neq 0) obtemos:
y' - \frac{1}{x}y = \frac{3}{x}.
Aqui escrevi a equação no formato
y' + P(x)\,y = Q(x),
com P(x) = -\dfrac{1}{x} e Q(x)=\dfrac{3}{x}.

Passo 3

Escolhemos o método do fator integrante (integrating factor). Justificativa: a equação está na forma linear de primeira ordem e o fator integrante é o procedimento padrão e mais direto para resolver esse tipo de equação sem complicações extras. Além disso este método leva a uma equação exata cuja integral é simples.

Passo 4

Lembrete didático sobre o fator integrante: para uma equação
y' + P(x)\,y = Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}.
A razão: multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu y' + \mu P y = \mu Q,
e se \mu satisfaz \mu'=\mu P então o lado esquerdo é exatamente a derivada de \mu y, isto é (\mu y)'. Assim a equação vira
(\mu y)' = \mu Q,
que integrou facilmente.

Passo 5

Calculemos o fator integrante usando P(x)=-\dfrac{1}{x}:
\mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x}\,dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|}.
Para trabalhar de forma simples, escolhemos \mu(x)=\dfrac{1}{x} em cada intervalo onde x>0 ou x<0 (o sinal pode ser absorvido pela constante de integração depois). Mantemos em mente que x\neq 0.

Passo 6

Multiplicando a forma padrão da equação por \mu(x)=\dfrac{1}{x} obtemos:
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y = \frac{3}{x^{2}}.
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada de \dfrac{y}{x}. Para ver isso explicitamente, calcule:
\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{y' x - y}{x^{2}} = \frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y.
Portanto a equação fica
\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{3}{x^{2}}.

Passo 7

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \left(\frac{y}{x}\right)'\,dx = \int \frac{3}{x^{2}}\,dx.
O lado esquerdo integra para \dfrac{y}{x}. No lado direito, escrevemos \dfrac{3}{x^{2}} = 3x^{-2} e integramos:
\int 3x^{-2}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx = 3\left(-x^{-1}\right) + C = -\frac{3}{x} + C,
onde C é a constante de integração. Assim obtemos:
\frac{y}{x} = -\frac{3}{x} + C.

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por x (novamente x\neq 0) obtemos a solução explícita:
y = -3 + Cx.
Podemos reescrever de forma mais usual como
y(x) = Cx - 3,
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária de integração.

Passo 9

Verificação rápida (importante para prova): derivando a solução temos y' = C. Substituindo em x y' = y + 3:
x\cdot C = (Cx - 3) + 3 = Cx,
logo a identidade é satisfeita, a solução confere.

Passo 10

Observação sobre domínio e constantes: a solução geral y(x)=Cx-3 é válida para x\neq 0 (a equação diferencial original não está definida em x=0). Em provas, vale dizer isso explicitamente. Você mandou bem pedindo passo a passo — essa técnica (fator integrante) é ótima e rápida em prova. Força aí, você consegue!

Resposta

y(x)=Cx-3,\;C\in\mathbb{R},\;x\neq0

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