Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada e nos fornece:
O que se pergunta implicitamente: encontrar a solução geral
que satisfaz essa equação. As informações relevantes do enunciado são:
- A equação é escrita em termos de
e . - O termo que multiplica
é . - O termo do lado direito é
.
Passo 2
Primeiro identificamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, comparando com a equação dada, temos
Vou usar o método do fator integrante, que é direto e eficiente para esse tipo de equação.
Passo 3
Explico o método do fator integrante de forma simples. Para uma equação
define-se o fator integrante
A razão de fazer isso é que, multiplicando toda a equação por
, o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
:
porque
. Agora aplico isso ao caso específico: como
,
Passo 4
Multiplico a equação original por
. Assim obtenho:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Então reescrevo:
Passo 5
Agora integro ambos os lados em relação a
. A integral da derivada dá o próprio produto, e a integral do lado direito é direta:
o que dá
onde
é a constante de integração (constante arbitrária real).
Passo 6
Isolo
dividindo por
:
Aqui
continua sendo uma constante arbitrária; essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 7
Verificação rápida para ter certeza (é um bom hábito na prova): calculo
a partir da solução e verifico que satisfaz a equação.
Somando com
:
que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.