Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d t}+y=e^{t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada e nos fornece:
\frac{d y}{d t}+y=e^{t}
O que se pergunta implicitamente: encontrar a solução geral y(t) que satisfaz essa equação. As informações relevantes do enunciado são:
  • A equação é escrita em termos de t e y(t).
  • O termo que multiplica y é 1.
  • O termo do lado direito é e^{t}.

Passo 2

Primeiro identificamos a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=q(t).
Aqui, comparando com a equação dada, temos
p(t)=1,\qquad q(t)=e^{t}.
Vou usar o método do fator integrante, que é direto e eficiente para esse tipo de equação.

Passo 3

Explico o método do fator integrante de forma simples. Para uma equação
\frac{d y}{d t}+p(t)\,y=q(t),
define-se o fator integrante
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}.
A razão de fazer isso é que, multiplicando toda a equação por \mu(t), o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(t)\,y(t):
\mu(t)\frac{d y}{d t}+\mu(t)p(t)\,y=\frac{d}{dt}\bigl(\mu(t)y(t)\bigr),
porque \dfrac{d\mu}{dt}=\mu p(t). Agora aplico isso ao caso específico: como p(t)=1,
\mu(t)=e^{\int 1\,dt}=e^{t}.

Passo 4

Multiplico a equação original por \mu(t)=e^{t}. Assim obtenho:
e^{t}\frac{d y}{d t}+e^{t}y=e^{t}\cdot e^{t}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{t}y. Então reescrevo:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}y\bigr)=e^{2t}.

Passo 5

Agora integro ambos os lados em relação a t. A integral da derivada dá o próprio produto, e a integral do lado direito é direta:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{t}y\bigr)\,dt=\int e^{2t}\,dt
o que dá
e^{t}y=\frac{1}{2}e^{2t}+C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária real).

Passo 6

Isolo y dividindo por e^{t}:
y=\frac{\tfrac{1}{2}e^{2t}+C}{e^{t}}=\frac{1}{2}e^{t}+C e^{-t}.
Aqui C continua sendo uma constante arbitrária; essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 7

Verificação rápida para ter certeza (é um bom hábito na prova): calculo \dfrac{dy}{dt} a partir da solução e verifico que satisfaz a equação.
\frac{dy}{dt}=\frac{1}{2}e^{t}-C e^{-t}.
Somando com y:
\frac{dy}{dt}+y=\bigl(\tfrac{1}{2}e^{t}-C e^{-t}\bigr)+\bigl(\tfrac{1}{2}e^{t}+C e^{-t}\bigr)=e^{t},
que coincide com o lado direito. Logo a solução está correta.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{2}e^{t}+C e^{-t}

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