Resolva o problema de valor inicial:
\frac{d y}{d t}=3 y, y(t)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial:
  • Equação diferencial: \dfrac{d y}{d t}=3y.
  • Condição inicial fornecida no enunciado: y(t)=2. Isso está um pouco ambíguo porque não diz em qual instante a solução vale 2. Para manter a resposta correta em qualquer caso, vou interpretar a condição inicial como y(t_0)=2 para algum instante inicial arbitrário t_0. Se o enunciado quis dizer explicitamente y(0)=2, o resultado será o caso especial com t_0=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada.

Passo 2

Identificar o tipo de equação e a estratégia de solução (explicação didática).
  • A equação \dfrac{d y}{d t}=3y é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e também separável. “Separable” significa que podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro, o que facilita a integração.
  • A ideia é separar as variáveis e integrar: mover y para o lado esquerdo e t para o lado direito.

Passo 3

Separação de variáveis e integração (passo a passo com explicação):
  • Partindo de \dfrac{d y}{d t}=3y, divido ambos os lados por y (assumindo y\neq0 momentaneamente) e multiplico por dt:
\frac{1}{y}\,dy = 3\,dt.
  • Agora integro ambos os lados. Explicando a integral: \int \dfrac{1}{y}\,dy é a primitiva \ln|y| (logaritmo natural do valor absoluto de y), e \int 3\,dt é 3t. Ao integrar aparece uma constante de integração C:
\ln|y| = 3t + C.

Passo 4

Isolar y (explicar cada passo):
  • Exponencio ambos os lados para desfazer o logaritmo. Lembrando que e^{\ln|y|}=|y|:
|y| = e^{3t + C} = e^{C} e^{3t}.
  • Seja A = e^{C}, que é um número positivo. Então |y| = A e^{3t}, o que implica y = \pm A e^{3t}. Podemos incorporar o sinal no constante e escrever a solução geral com uma constante real arbitrária C_1:
y(t) = C_1 e^{3t},\qquad C_1\in\mathbb{R}.
  • Observação importante: a solução constante y(t)\equiv 0 também é obtida para C_1=0. Portanto a forma y(t)=C_1 e^{3t} cobre todos os casos.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(t_0)=2 para determinar a constante (passo a passo):
  • Substituindo t=t_0 na solução geral:
2 = y(t_0) = C_1 e^{3 t_0}.
  • Isolando C_1:
C_1 = 2 e^{-3 t_0}.
  • Substituindo de volta na solução geral:
y(t) = 2 e^{-3 t_0} e^{3t} = 2 e^{3(t - t_0)}.
  • Caso específico mais comum: se a condição inicial for y(0)=2 (ou seja, t_0=0), então
y(t) = 2 e^{3t}.

Passo 6

Verificação rápida (substituir na equação para checar):
  • Derivando y(t)=2 e^{3(t-t_0)}:
\frac{d y}{d t} = 2\cdot 3 e^{3(t-t_0)} = 3\cdot \bigl(2 e^{3(t-t_0)}\bigr) = 3y,
logo satisfaz a equação diferencial. Também satisfaz y(t_0)=2 por construção.

Resposta

y(t)=C e^{3t}, com C\in\mathbb{R} (solução geral)
y(t)=2 e^{3(t-t_0)} se a condição inicial for y(t_0)=2 (solução particular)
y(t)=2 e^{3t} se a condição inicial for y(0)=2 (caso t_0=0)

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