Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial fornecida no enunciado:
. Isso está um pouco ambíguo porque não diz em qual instante a solução vale . Para manter a resposta correta em qualquer caso, vou interpretar a condição inicial como para algum instante inicial arbitrário . Se o enunciado quis dizer explicitamente , o resultado será o caso especial com .
O que é pedido: encontrar a solução
da equação diferencial que satisfaz a condição inicial dada.
Passo 2
Identificar o tipo de equação e a estratégia de solução (explicação didática).
- A equação
é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear e também separável. “Separable” significa que podemos escrever todos os termos em de um lado e todos os termos em do outro, o que facilita a integração. - A ideia é separar as variáveis e integrar: mover
para o lado esquerdo e para o lado direito.
Passo 3
Separação de variáveis e integração (passo a passo com explicação):
- Partindo de
, divido ambos os lados por (assumindo momentaneamente) e multiplico por :
- Agora integro ambos os lados. Explicando a integral:
é a primitiva (logaritmo natural do valor absoluto de ), e é . Ao integrar aparece uma constante de integração :
Passo 4
Isolar
(explicar cada passo):
- Exponencio ambos os lados para desfazer o logaritmo. Lembrando que
:
- Seja
, que é um número positivo. Então , o que implica . Podemos incorporar o sinal no constante e escrever a solução geral com uma constante real arbitrária :
- Observação importante: a solução constante
também é obtida para . Portanto a forma cobre todos os casos.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante (passo a passo):
- Substituindo
na solução geral:
- Isolando
:
- Substituindo de volta na solução geral:
- Caso específico mais comum: se a condição inicial for
(ou seja, ), então
Passo 6
Verificação rápida (substituir na equação para checar):
- Derivando
:
logo satisfaz a equação diferencial. Também satisfaz
por construção.