Resolva a equação diferencial a seguir.
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}{y^{2}+y^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}+2 x^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial e nos dá a expressão
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x y e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}{y^{2}+y^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}+2 x^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}.
O que precisamos encontrar é a solução geral y(x) (ou, se não for possível explicitar, uma relação implícita entre x e y contendo uma constante arbitrária). As informações relevantes do enunciado são:
  • A equação diferencial ordinária é de primeira ordem, dada explicitamente por \dfrac{dy}{dx}= expressão acima.
  • Aparecem combinações de x, y e \left(\dfrac{x}{y}\right)^{2} e exponencial de \left(\dfrac{x}{y}\right)^{2}.
    Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos determinar a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação útil (motivo da escolha do método): a expressão do lado direito depende de x e y por meio da razão \dfrac{x}{y} e de potências simples de x e y. Nesses casos é comum tentar a substituição
v=\frac{x}{y}.
Vou explicar bem direitinho como trabalhar com essa substituição. Se \;v=\dfrac{x}{y}\;, então isolamos y como função de x e v:
y=\frac{x}{v}.
Agora precisamos de \dfrac{dy}{dx} em termos de v e \dfrac{dv}{dx}. Para isso derivamos y(x)=x/v(x) usando a regra do quociente ou produto:
y=\frac{x}{v}\quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{v\cdot 1 - x\cdot \frac{dv}{dx}}{v^{2}}=\frac{1}{v}-\frac{x}{v^{2}}\frac{dv}{dx}.
Aqui: \dfrac{dv}{dx} é a derivada de v em relação a x; v depende de x.

Passo 3

Agora substituímos y=\dfrac{x}{v} e a expressão de \dfrac{dy}{dx} na equação original. Primeiro simplifico o lado direito escrevendo tudo em função de v.
Numerador do lado direito:
2 x y e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}} = 2 x \cdot \frac{x}{v}\cdot e^{v^{2}}=\frac{2x^{2}}{v}e^{v^{2}}.
Denominador do lado direito:
y^{2}+y^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}+2 x^{2} e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}} = \frac{x^{2}}{v^{2}}+\frac{x^{2}}{v^{2}}e^{v^{2}}+2x^{2}e^{v^{2}}.
Colocando x^{2} em evidência:
= x^{2}\left(\frac{1+e^{v^{2}}}{v^{2}}+2e^{v^{2}}\right).
Portanto o lado direito inteiro fica (os fatores x^{2} se cancelam):
\frac{2x^{2}/v\; e^{v^{2}}}{x^{2}\left(\dfrac{1+e^{v^{2}}}{v^{2}}+2e^{v^{2}}\right)} =\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}.
Conclusão: o lado direito é função somente de v:
\frac{dy}{dx}=\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}.

Passo 4

Igualamos a expressão que obtivemos para \dfrac{dy}{dx} (em termos de v e \dfrac{dv}{dx}) com esse lado direito só em v. Lembre-se:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{v}-\frac{x}{v^{2}}\frac{dv}{dx}.
Então
\frac{1}{v}-\frac{x}{v^{2}}\frac{dv}{dx}=\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}.
Isolamos \dfrac{dv}{dx}. Primeiro movemos o termo \dfrac{x}{v^{2}}\dfrac{dv}{dx} para o outro lado e subtraímos o RHS do 1/v:
\frac{x}{v^{2}}\frac{dv}{dx}=\frac{1}{v}-\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}.
Multiplicando ambos os lados por \dfrac{v^{2}}{x}:
\frac{dv}{dx}=\frac{v^{2}}{x}\left(\frac{1}{v}-\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}\right).
Simplifico dentro dos parênteses:
\frac{1}{v}-\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}} =\frac{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}-2v^{2}e^{v^{2}}}{v\left(1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}\right)} =\frac{1+e^{v^{2}}}{v\left(1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}\right)}.
Multiplicando por v^{2}/x dá:
\frac{dv}{dx}=\frac{v}{x}\cdot\frac{1+e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}.

Passo 5

A equação para v é separável. Escrevo de forma a separar v e x:
\frac{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}{v(1+e^{v^{2}})}\,dv=\frac{dx}{x}.
Eu vou simplificar a fração do lado esquerdo antes de integrar. Observe
\frac{1+e^{v^{2}}+2v^{2}e^{v^{2}}}{v(1+e^{v^{2}})} =\frac{1+e^{v^{2}}}{v(1+e^{v^{2}})}+\frac{2v^{2}e^{v^{2}}}{v(1+e^{v^{2}})} =\frac{1}{v}+\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}}.
Logo a integral fica
\int\left(\frac{1}{v}+\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}}\right)dv=\int\frac{dx}{x}.
Agora integramos termo a termo.
  1. Para \displaystyle\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|.
  2. Para \displaystyle\int\frac{2v e^{v^{2}}}{1+e^{v^{2}}}\,dv fazemos a substituição u=e^{v^{2}}. Então du=2v e^{v^{2}}\,dv. Assim a integral vira
\int\frac{du}{1+u}=\ln(1+u)=\ln\bigl(1+e^{v^{2}}\bigr).
Somando os resultados:
\ln|v|+\ln\bigl(1+e^{v^{2}}\bigr)=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Juntando os logaritmos do lado esquerdo:
\ln\bigl(|v|\bigl(1+e^{v^{2}}\bigr)\bigr)=\ln|x|+C.
Exponenciando ambos os lados obtemos
|v|\bigl(1+e^{v^{2}}\bigr)=C_1|x|,
onde C_1=e^{C}>0 é outra constante positiva. Podemos absorver sinais na constante arbitrária (isto é, trabalhar com uma constante real C que pode ser positiva ou negativa), e assim escrever de forma mais simples, sem os valores absolutos, a solução implícita geral:
v\bigl(1+e^{v^{2}}\bigr)=C x.
Por fim voltamos à variável original usando v=\dfrac{x}{y}. Substituindo:
\frac{x}{y}\Bigl(1+e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}\Bigr)=C x.
Se x\neq 0 podemos dividir por x e obter uma forma muito simples e conveniente:
\frac{1+e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}{y}=C.
Essa é a relação implícita entre x e y que representa a solução geral (a constante C é arbitrária).

Resposta

\displaystyle \frac{1+e^{\left(\frac{x}{y}\right)^{2}}}{y}=C

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