Resolva a equação diferencial a seguir.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial e nos dá a expressão
O que precisamos encontrar é a solução geral
(ou, se não for possível explicitar, uma relação implícita entre
e
contendo uma constante arbitrária). As informações relevantes do enunciado são:
- A equação diferencial ordinária é de primeira ordem, dada explicitamente por
expressão acima. - Aparecem combinações de
, e e exponencial de .
Não há outras condições iniciais fornecidas, então devemos determinar a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação útil (motivo da escolha do método): a expressão do lado direito depende de
e
por meio da razão
e de potências simples de
e
. Nesses casos é comum tentar a substituição
Vou explicar bem direitinho como trabalhar com essa substituição. Se
, então isolamos
como função de
e
:
Agora precisamos de
em termos de
e
. Para isso derivamos
usando a regra do quociente ou produto:
Aqui:
é a derivada de
em relação a
;
depende de
.
Passo 3
Agora substituímos
e a expressão de
na equação original. Primeiro simplifico o lado direito escrevendo tudo em função de
.
Numerador do lado direito:
Denominador do lado direito:
Colocando
em evidência:
Portanto o lado direito inteiro fica (os fatores
se cancelam):
Conclusão: o lado direito é função somente de
:
Passo 4
Igualamos a expressão que obtivemos para
(em termos de
e
) com esse lado direito só em
. Lembre-se:
Então
Isolamos
. Primeiro movemos o termo
para o outro lado e subtraímos o RHS do
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplifico dentro dos parênteses:
Multiplicando por
dá:
Passo 5
A equação para
é separável. Escrevo de forma a separar
e
:
Eu vou simplificar a fração do lado esquerdo antes de integrar. Observe
Logo a integral fica
Agora integramos termo a termo.
-
Para
. -
Para
fazemos a substituição . Então . Assim a integral vira
Somando os resultados:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Juntando os logaritmos do lado esquerdo:
Exponenciando ambos os lados obtemos
onde
é outra constante positiva. Podemos absorver sinais na constante arbitrária (isto é, trabalhar com uma constante real
que pode ser positiva ou negativa), e assim escrever de forma mais simples, sem os valores absolutos, a solução implícita geral:
Por fim voltamos à variável original usando
. Substituindo:
Se
podemos dividir por
e obter uma forma muito simples e conveniente:
Essa é a relação implícita entre
e
que representa a solução geral (a constante
é arbitrária).