Resolva a equação diferencial a seguir:
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=-x^{9} y^{5}

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
y^{\prime}+\frac{2}{x}y=-x^{9}y^{5}.
Informações fornecidas que vamos usar:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é de primeira ordem e relaciona y' com potências de y e funções de x.
  • Devemos encontrar a solução geral (com constante de integração) — incluindo observar soluções singulares se existirem.
  • Note que a equação é válida apenas para x\neq 0 (pois aparece \frac{2}{x}).

Passo 2

Observando a equação, ela tem a forma em que há um termo linear em y e um termo proporcional a y^{5}. Existe um método padrão (Bernoulli) que transforma equações do tipo
y'+P(x)y=Q(x)y^{n}
numa equação linear através da substituição
u=y^{1-n}.
Aqui temos n=5, então vamos usar a substituição
u=y^{1-5}=y^{-4}.
Antes de aplicar, explico por que isso ajuda: a derivada de u envolve \,y^{-5}y', que permite eliminar o termo y^{5} quando combinada com a equação original, transformando a equação numa equação linear para u. É isso que faremos.

Passo 3

Calculemos a derivada de u em função de y e y'. Como u=y^{-4},
u'=\frac{d}{dx}(y^{-4})=-4y^{-5}y'.
Isolando y^{-5}y' temos
y^{-5}y'=-\frac{1}{4}u'.
Agora vamos reescrever a equação original de forma que apareça y^{-5}y'. A equação original é
y' + \frac{2}{x}y = -x^{9}y^{5}.
Multiplicamos ambos os lados por -4y^{-5} (isso é permitido desde que y\neq 0; trataremos y\equiv 0 separadamente):
esquerda:
-4y^{-5}y' -4y^{-5}\frac{2}{x}y = -4y^{-5}\left(-x^{9}y^{5}\right).
Agora simplificamos termo a termo:
  • O termo -4y^{-5}y' é exatamente u' (pela derivada que calculamos).
  • O termo -4y^{-5}\frac{2}{x}y = -\frac{8}{x}y^{-4} = -\frac{8}{x}u.
  • O termo do lado direito -4y^{-5}\left(-x^{9}y^{5}\right)=4x^{9}.
Portanto obtemos a equação para u:
u' - \frac{8}{x}u = 4x^{9}.

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem em u:
u' + P(x)u = Q(x),
com P(x)=-\dfrac{8}{x} e Q(x)=4x^{9}. A técnica padrão para resolver é o fator integrante (integrating factor). Lembro a fórmula: se
u' + P(x)u = Q(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Multiplicando a equação por \mu o lado esquerdo fica (\mu u)', depois integramos.

Passo 5

Calculemos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{8}{x}\,dx\right)=\exp(-8\ln|x|)=|x|^{-8}.
Para trabalhar de forma simples, escolhemos x\neq 0 e usamos \mu(x)=x^{-8} (as soluções em x>0 e x<0 são análogas, apenas mudar o sinal absoluto se necessário). Multiplicando a equação por x^{-8} obtemos
x^{-8}u' - \frac{8}{x}x^{-8}u = 4x^{9}x^{-8}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-8}u\big)=4x.

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
x^{-8}u = \int 4x\,dx = 2x^{2} + C,
onde C é constante de integração. Agora isolamos u:
u = x^{8}\big(2x^{2} + C\big) = 2x^{10} + Cx^{8}.

Passo 7

Lembrando que u=y^{-4}, voltamos para y:
y^{-4}=2x^{10}+Cx^{8}=x^{8}\big(2x^{2}+C\big).
Tomando a potência -\tfrac{1}{4} dos dois lados (ou seja, invertendo e tirando a raiz quarta):
y=\pm\big(2x^{10}+Cx^{8}\big)^{-1/4}.
Podemos fatorar x^{8} para simplificar a aparência:
y=\pm\big(x^{8}(2x^{2}+C)\big)^{-1/4}=\pm x^{-2}\big(2x^{2}+C\big)^{-1/4}.

Passo 8

Observações finais sobre domínio e soluções especiais:
  • A solução acima foi obtida assumindo y\neq 0 quando multiplicamos por y^{-5}. A função y\equiv 0 é uma solução do problema (verifique: se y\equiv 0 então y'=0 e ambos os lados da equação são zero). Então devemos incluir y\equiv 0 como solução singular.
  • Para a solução explícita real precisamos de 2x^{2}+C>0 (para que a raiz quarta seja real) e sempre x\neq 0. A constante C é arbitrária real, e o sinal \pm aparece porque ao tirar a quarta raíz perdemos o sinal de y.
  • Podemos reescrever a solução geral não trivial também como
y=\pm\frac{1}{x^{2}\big(2x^{2}+C\big)^{1/4}}.

Resposta

y\equiv 0
y(x)=\pm x^{-2}\big(2x^{2}+C\big)^{-1/4},\quad C constante de integração, x\neq 0 (e 2x^{2}+C>0 para solução real)

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