Resolva a equação diferencial a seguir:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial
Informações fornecidas que vamos usar:
- A incógnita é a função
. - A equação é de primeira ordem e relaciona
com potências de e funções de . - Devemos encontrar a solução geral (com constante de integração) — incluindo observar soluções singulares se existirem.
- Note que a equação é válida apenas para
(pois aparece ).
Passo 2
Observando a equação, ela tem a forma em que há um termo linear em
e um termo proporcional a
. Existe um método padrão (Bernoulli) que transforma equações do tipo
numa equação linear através da substituição
Aqui temos
, então vamos usar a substituição
Antes de aplicar, explico por que isso ajuda: a derivada de
envolve
, que permite eliminar o termo
quando combinada com a equação original, transformando a equação numa equação linear para
. É isso que faremos.
Passo 3
Calculemos a derivada de
em função de
e
. Como
,
Isolando
temos
Agora vamos reescrever a equação original de forma que apareça
. A equação original é
Multiplicamos ambos os lados por
(isso é permitido desde que
; trataremos
separadamente):
esquerda:
esquerda:
Agora simplificamos termo a termo:
- O termo
é exatamente (pela derivada que calculamos). - O termo
. - O termo do lado direito
.
Portanto obtemos a equação para
:
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem em
:
com
e
. A técnica padrão para resolver é o fator integrante (integrating factor). Lembro a fórmula: se
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
o lado esquerdo fica
, depois integramos.
Passo 5
Calculemos o fator integrante:
Para trabalhar de forma simples, escolhemos
e usamos
(as soluções em
e
são análogas, apenas mudar o sinal absoluto se necessário). Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Agora isolamos
:
Passo 7
Lembrando que
, voltamos para
:
Tomando a potência
dos dois lados (ou seja, invertendo e tirando a raiz quarta):
Podemos fatorar
para simplificar a aparência:
Passo 8
Observações finais sobre domínio e soluções especiais:
- A solução acima foi obtida assumindo
quando multiplicamos por . A função é uma solução do problema (verifique: se então e ambos os lados da equação são zero). Então devemos incluir como solução singular. - Para a solução explícita real precisamos de
(para que a raiz quarta seja real) e sempre . A constante é arbitrária real, e o sinal aparece porque ao tirar a quarta raíz perdemos o sinal de . - Podemos reescrever a solução geral não trivial também como