Resolva a equação diferencial sujeita às condiçōes dadas.
f^{\prime \prime}(x)=4 x-1;
f^{\prime}(2)=-2 ; f(1)=3

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a função f que satisfaz
f''(x) = 4x - 1,
com as condições f'(2) = -2 e f(1) = 3. O conteúdo aqui é resolver uma equação diferencial ordinária de segunda ordem por integração sucessiva.

Passo 2

Como a derivada segunda de f é 4x - 1, podemos integrar uma vez para achar f'. A regra de integração diz que
\int (4x - 1)\,dx = 2x^2 - x + C_1.
Ou seja,
f'(x) = 2x^2 - x + C_1.

Passo 3

Usando a condição f'(2) = -2, substituímos x = 2 em f'(x):
f'(2) = 2\cdot2^2 - 2 + C_1 = 8 - 2 + C_1 = 6 + C_1.
Como isso deve ser -2, temos
6 + C_1 = -2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -8.
Logo
f'(x) = 2x^2 - x - 8.

Passo 4

Agora integramos f'(x) para obter f(x). Aplicando
\int (2x^2 - x - 8)\,dx = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 8x + C_2,
seguimos que
f(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 8x + C_2.

Passo 5

Para achar C_2, usamos f(1) = 3:
f(1) = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 8 + C_2 = 3.
Observando que \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{6}, fica
\frac{1}{6} - 8 + C_2 = 3 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = 3 + 8 - \frac{1}{6} = \frac{65}{6}.

Resposta

f(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 8x + \frac{65}{6}.

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