Resolva a equação diferencial sujeita às condições dadas.
f^{\prime \prime}(x)=4 x-1);
(f^{\prime}(2)=-2 ; f(1)=3)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
f''(x)=4x-1
sujeita às condições iniciais
f'(2)=-2, \qquad f(1)=3.
O método é integrar duas vezes: primeiro para achar f'(x) (introduzindo uma constante C_1) e depois para achar f(x) (com outra constante C_2), ajustando-as pelas condições dadas.

Passo 2

Integramos f''(x)=4x-1 em relação a x para obter f'(x).
f'(x)=\int(4x-1)\,dx =2x^2 - x + C_1.
Em x=2 deve valer f'(2)=-2, logo
f'(2)=2\cdot2^2 - 2 + C_1 =8 - 2 + C_1 =6 + C_1 \stackrel!=-2 \implies C_1=-8.
Portanto
f'(x)=2x^2 - x - 8.

Passo 3

Agora integramos f'(x) para achar f(x).
f(x)=\int(2x^2 - x - 8)\,dx =\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 8x + C_2.
Em x=1 deve valer f(1)=3, então
f(1)=\frac{2}{3}\cdot1^3 - \frac{1}{2}\cdot1^2 - 8\cdot1 + C_2 =\frac{2}{3} - \frac{1}{2} - 8 + C_2.
Calculamos
\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{4-3}{6} =\frac{1}{6}, \quad \frac{1}{6}-8 =-\frac{47}{6}.
Logo
-\frac{47}{6}+C_2=3 \implies C_2=3+\frac{47}{6} =\frac{18+47}{6} =\frac{65}{6}.

Resposta

f(x)=\frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 8x + \frac{65}{6}.

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